Para seguir avanzando veamos lo que suele denominarse serie en este mundillo.
Existe una historia, que no sé si será cierta o no, y que habla a cerca de cómo el más grande matemático de todos los tiempos Carl Friederich Gauss, con nueve años de edad, dejó anonadado a su maestro y posterior mentor, el señor Büttner. Aquel día el profesor quería dedicar un tiempo para hacer alguna otra tarea que le apremiaba y le dijo a sus alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100, con la seguridad de que eso les llevaría algún tiempo y lo dejarían un rato tranquilo. Cuál fue la sorpresa de aquel maestro cuando en poco más de un minuto el joven Gauss dejó encima de la mesa su pizarrilla con el ejercicio resuelto y además correctamente.
Dicen que aquel prodigio de niño enseguida vio que si sumamos el primer número, 1 y el último 100 nos da 101. Si sumamos el segundo número 2 y el penúltimo 99 nos da lo mismo 101, y así con todos. Es decir:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 =?
Lo que Gauss finalmente hizo fue:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 99 = 101
...
50 + 51 = 101
Vemos que al final todo se reduce a sumar 50 veces 101, o lo que es lo mismo, multiplicar 50x101 que nos da 5050. Esta genial visión nos permite deducir fácilmente la fórmula de la suma de una suma finita parecida a esta.
Si a cada término de la serie lo llamamos de una manera, entonces:
La fórmula para sumar este tipo de series sería:
Teniendo entonces claro lo que es una serie, es decir la suma de una sucesión de números, Leonard Euler en el siglo XVIII inventó una anotación específica para estar y así poder escribirlo todo de una manera más compacta y rápida. Para nuestro caso:
Vemos que para representar la serie se utiliza la letra griega sigma mayúscula (que es equivalente a nuestra "S" y que se dice que proviene de la palabra suma), poniendo en la parte inferior donde empieza la serie y en la superior donde acaba; n va recorriendo todos los valores entre 1 y 100. Con un par de ejemplos lo veremos más claro:
En la primera, estamos sumamos todas las potencias del número dos empezando en 1 y terminado en 25 (vemos que n toma todos los valores entre 1 y 25). En el segundo caso estamos sumando todas las fracciones de 1 partido por un número entero empezando por 2 y llegando hasta el infinito.
¡Podemos sumar infinitos números! Algunas veces sí y otras no; bueno seamos más rigurosos, nunca podemos sumar infinitos números porque tardaríamos un tiempo infinito, pero lo que sí podemos saber, en algunas ocasiones, es el resultado de la suma. Si tenemos paciencia entenderemos esto de forma clara.
Vamos a ver ahora lo que son las medias de sucesiones de números.
Los antiguos griegos ya definieron varios tipos de medias, dependiendo del tipo uso que quisieran dar a los datos:
Observamos que la media aritmética es la suma de elementos, dividido por la cantidad de elementos sumados. La media geométrica es la raíz del producto de elementos. En este caso es una raíz cúbica porque tenemos 3 elementos, si hubiéramos tenido dos hubiera sido una raíz cuadrada.
La media armónica si nos fijamos es la inversa de la media de la suma de los inversos de los elementos. Pongamos las mismas fórmulas pero de manera genérica, donde n es el número de elementos del que queremos calcular la media:
Una media aritmética todos sabemos lo que es y es la que más se utiliza generalmente y no necesita más explicación. Si yo me como dos pollos, tú ninguno y hacemos la media, cada uno se ha comido un pollo estadísticamente, aunque tú ni lo hayas olido. Por eso se dice muchas veces que existen verdades, mentiras y estadísticas pues estas pueden manipularse o interpretarse en el sentido que queramos.
La media geométrica es más difícil de ver y suele utilizarse para hacer media de elementos que están relacionados entre si por el producto (directamente proporcionales). El ejemplo más típico es el interés de los depósitos o préstamos financieros.
Si depositamos 10000€ en un banco y el primer año nos dan el 3%, el segundo año el 5% y el tercer año el 7%. ¿Qué media de interés hemos tenido todo ese tiempo? ¿Si en esos tres años no vamos a retirar el dinero le diríamos al banco que nos aplique la media del interés en vez de calcularlo año a año?
Después de tener un año el dinero en depósito nuestro capital inicial de 10000€ se convierte en 10300€, el segundo año ya asciende a 10815€ y el tercero a 11572,05€.
El cálculo de los 3 años es equivalente a este otro, si lo queremos hacer de una manera más rápida:
Volviendo a la pregunta, ¿qué interés medio hemos tenido esos tres años? Si aplicamos la media aritmética:
Si aplicamos el interés medio a los tres últimos años nos sale:
Vemos que salimos ganando, porque al final de los tres años obtenemos 4,2€ de más. Le diremos entonces al banco que no vamos a sacar el dinero y que cuando lo retiremos nos haga los cálculos del interés con la media de todos los años. ¡Pero los banqueros no son tontos! No se han hecho ricos por casualidad. Estos nos dirán que sí, que nos aplican la media, pero la geométrica que para este tipo de operaciones con productos es más correcta.
Hagamos la media geométrica a ver qué nos sale:
Podemos observar que es parecida a la media aritmética, que sería 1,05. Si ahora utilizamos la fórmula para calcular el capital al final de los tres años con la media geométrica obtenemos:
Que es exactamente el mismo valor que si calculamos el capital año a año.
Por lo tanto, si las cantidades de las que queremos calcular la media proceden de datos similares que admiten la suma directa, utilizaremos la media aritmética; pero si los datos proceden de operaciones más complicadas que llevan implícita la multiplicación utilizaremos la media geométrica.
¿Pero qué ocurre si la relación entre las cantidades es inversa? Pues entonces utilizaremos la media armónica.
Imaginemos que queremos calcular la media de velocidades de distintos vehículos en un gran premio, de fórmula 1 por ejemplo, en el que la distancia que recorren todos es idéntica. Sabemos que la velocidad es el espacio partido por el tiempo:
Es decir la velocidad media de todos los coches del gran premio es igual a la distancia media recorrida por cada uno de ellos dividido por el tiempo medio recorrido por cada uno de ellos. La fórmula ahora podemos ponerla así:
Donde las rayitas encima de cada letra significa que calculamos su media. Vemos que la distancia media es igual a la distancia del circuito. Eso es lógico la media de muchos números iguales es ese mismo número (la media de 5, 5, 5 y 5 es 5), la media del tiempo en cambio no. Esta será el tiempo que tarda cada uno de los coches dividido por el número total de coches, cada coche tarda un tiempo diferente, el ganador, evidentemente será el que menos tiempo tarde.
Si hacemos algunas manipulaciones de quebrados con la expresión anterior nos queda que:
Pero como queremos calcular la velocidad media a partir de la velocidad de cada uno de los coches, haremos otras manipulaciones sabiendo que que el tiempo es igual a la distancia partido por la velocidad:
Y vemos que es la fórmula de la media armónica. Si lo ponemos de una manera más compacta, al estilo matemático actual, tendríamos la expresión:
¡Ahora estamos preparados para conocer el problema de Basilea!
Algo que trajo de cabeza los matemáticos varios siglos.
Lo dejamos para la siguiente entrada en el blog, si os parece
