Repaso
Si recordamos de bachiller, derivar estaba relacionado con el gradiente de una función, es decir cómo de rápido cambia. Por eso, la velocidad es la derivada del espacio (cuando un cuerpo se mueve la velocidad indica cómo de rápido cambia el espacio que hay junto a él) y la aceleración es la derivada de la velocidad (la aceleración indica cómo de rápido cambia la velocidad conforme aceleramos) cosa que podemos comprobar cuando pisamos el acelerador de un coche y miramos el indicador de velocidad del mismo.
Podemos decir que derivar está relacionado con restar. Para sacar, por ejemplo, el espacio recorrido a una velocidad, llamémosle 𝛥X, tengo que restar donde estoy ahora y donde estaba hace un rato. En la ilustración lo vemos más claro,
Otra interpretación es que la derivada es la pendiente de una curva matemática en un punto dado:
La tangente a una curva en un punto P, es lo mismo que la pendiente (azul) de la curva (verde) y que nos da una idea de como crece o decrece la curva en ese punto. La pendiente es igual a 𝛥y/𝛥x
Si seguimos recordando de bachiller, la integral es la operación contraria a la derivada. Podemos decir que está relacionada con sumar, de ahí que su símbolo sea una "s" muy estilizada. Por eso también se asimila que una integral definida entre dos puntos sea el área encerrada bajo la curva, como indica la figura:
Cuando hablamos de integral indefinida, es decir sin límites arriba y abajo (a y b en nuestro ejemplo), y como hemos dicho que es la operación opuesta a la derivación:
para derivada se ha utilizado la notación de Lagrange (matemático francés) que consiste en un ' (apóstrofe). Dicho de otra manera f(x) es la derivada de F(x) y por tanto su pendiente.
Otra aproximación al Teorema de los Números Primos.
Si recordamos de la primera entrada de este blog, Gauss encontró una aproximación para la acumulación de los números primos, o mejor dicho cuántos primos hay menores que un número N dado. N no tiene que ser primo, puede ser cualquier número. Por ejemplo si N=8, entonces el número de primos menores que 8 es 4 (𝛑(8)=4, es decir los números 2, 3, 5 y 7). Si N=10 el número de primos menores que 10 también es 4 (𝛑(10)=4, los números 2, 3, 5 y 7). En el caso de N=15 el valor de 𝛑(15)=6 (ya que los primos menores que 15 son 2, 3, 5, 7, 11 y 13). Vemos que 𝛑(x) es una función escalonada ya que para distintas x tiene el mismo valor, lo hemos comprobado con 𝛑(8) = 𝛑(10) = 4. Los escalones son totalmente irregulares en longitud, pues nunca sabemos cuándo aparecerá el siguiente número primo.
La aproximación de Gauss que se acerca a esa escalinata es:
este comportamiento, salvando las distancias, sería aproximado al de una función acumulativa de probabilidad, y que 1/ln(x) sería la probabilidad de que un numero elegido al azar entre 1 y x fuera primo, por lo que el cuerpo nos pediría probar con esta función:
a la que llamaron Logaritmo Integral de ahí "Li". Es una función normal y corriente lo que pasa es que para calcular cada valor de Li(x) hay que hacer una integral. Si representamos esta función tenemos:
Para el valor 1 la función se va hacia el infinito negativo volviendo después de allí y cruzando el eje de abscisas en el punto 1.451369... a partir del cual ya no para de crecer, lo que es lógico si queremos que represente la acumulación de números primos. A partir x=2 la gráfica empieza a tener sentido, por lo que generalmente encontramos la función Li(x) expresada de la siguiente forma:
Si empezamos a darle valores a x, comprobamos que Li(x) es una mejor aproximación a 𝛑(x). Al principio cuando N es un número bajo ambas estimaciones son buenas, pero conforme N se hace más grande la estimación de Li(x) es mucho mejor. En la tabla siguiente podemos verlo. Empezamos tomando N muy grande, 100 millones.
Se observa que por ejemplo para N igual a diez mil millones, tercera fila, el número de primos que hay es de 455.052.511. El cálculo por la fórmula de Gauss nos da un error absoluto de -20.758.030, pero en cambio por la estimación Li(N) el error es sólo de 3.104.
Por los signos en la tabla podemos comprobar que la aproximación de Gauss siempre da error negativo, es decir que el valor es inferior al real, y la gráfica siempre va por debajo (línea azul), en cambio Li(N) siempre va más ajustada por arriba (línea roja). De esta forma si representamos las aproximaciones con la función 𝛑(x) real (línea negra en forma de escalinata), tenemos:
Como se puede comprobar estamos utilizando la potencia del análisis numérico para intentar aproximarnos a nuestro objetivo. En la próxima entrada analizaremos más aproximaciones realizadas en la historia para atacar este fabuloso problema.
