Si recordáis de la entrada anterior titulada, "¿Son los números complejos tan complejos" una función de una variable f(x), por ejemplo, podemos representarla en un plano puesto que la variable independiente "x" (argumento) es unidimensional y la podemos dibujar en una línea (eje X). La variable dependiente (valor de la función) "y" también es unidimensional y la podemos dibujar en un línea (eje Y). Ambas líneas forman un plano (plano XY donde podemos dibujar la función). Ejemplo:
En este caso hemos representado la misma función de elevar al cuadrado un número (en este caso un número complejo). A la izquierda vemos los argumentos de la función (variable independiente), en este caso hemos cogido los números complejos que forman la rejilla de un rectángulo. Al pasar esos argumentos por la función de "elevar al cuadrado", los puntos de la rejilla son transformados en esa figura extraña formada por parábolas (esos son los valores de la función)
Como veis en un mismo plano no podemos representar los argumentos (izquierda) y los valores de la función (derecha) porque tendríamos un lío de líneas que no nos aclararíamos.
Hagamos esto con la función de Riemann, pero en vez de representar todos los puntos (formaríamos un lio de lineas que no nos llevarían a ninguna parte) representemos sólo aquellos argumentos que tras pasarlos por la mencionada función nos devuelvan un valor real-puro o real-imaginario. Por ejemplo:
Dicho de otra manera, vamos a intentar dibujar dos gráficas semejantes a las de arriba con fondo negro, pero ahora la función a representar no será "x al cuadrado", sino "La función de Riemann (𝜻)".
Si intentamos dibujar en primer lugar el plano de los argumentos (gráfica de la izquierda) pero solo para aquellos argumentos que nos devuelven un valor puro-real o puro-imaginario obtendríamos algo así:
Los ceros se representan como círculos negros. Vemos que hay dos ceros, en el eje Real, en -2 y -4 (ceros triviales). Los ceros no triviales aparecen todos en la misma columna (color rosa), perfectamente alineados. Pues bien, estos ceros son los que traen a los matemáticos de cabeza desde que Riemann formuló su famosa hipótesis.
Ahora ya estamos en disposición de entender qué es lo que formula la hipótesis de Riemann:
Todos los ceros no triviales de la función 𝜻
tienen como parte real el valor: 1/2
En la gráfica se ve claramente que los ceros no triviales de dicha función están todos alineados perfectamente uno encima del otro en el valor del eje Real igual a 1/2. El valor de su parte imaginaria se representa en la columna a la derecha de la gráfica.
Pues la demostración de esta sencilla frase es la que trae a todos los matemáticos de cabeza desde mediados del siglo XIX. Se han escrito algoritmos y se han calculado mediante potentes computadoras millones y millones de ceros de la función y todos están perfectamente alineados en la línea de valor 1/2.
¿Pero entonces por qué tanto lío? ¿No es suficiente con que hallamos calculado miles de millones de ceros para pensar que la hipótesis es real? Matemáticamente hay que decir NO. Si por ejemplo hemos calculado 100.000.000.000 ceros y todos cumplen la hipótesis, nadie nos puede asegurar que el cero 100.000.000.001 la cumple también.
Las pruebas matemáticas se basan en eso, empleando su lógica interna y propiedades, intentar demostrar de algo se cumplirá siempre. Una vez que algo ha sido demostrado matemáticamente se convierte en inmutable, será cierto para la eternidad y en cualquier lugar del universo.
Volvamos a la gráfica anterior. ¿Por qué en todas las representaciones del plano de argumentos de 𝜻, siempre aparece una banda centrada en 1/2? En nuestro dibujo esta banda está coloreada en rosa y se extiende de 0 a 1. Siempre se suele colorear porque eso es lo único que han podido demostrar los matemáticos, que los ceros de 𝜻 están dentro de esa banda. Se le denomina "banda crítica"
También se ha podido demostrar que los ceros no triviales aparecen en pares conjugados, es decir si un cero está en 1/2+14.1347i el otro cero estará en 1/2-14.1347i. Utilizando anotación matemática respecto a lo que son pares conjugados:
Algo que también se ha podido demostrar es que los ceros son simétricos respecto a la línea 1/2, según la fórmula que vimos en la última entrada. Si 𝜻(s) es un cero, entonces 𝜻(1-s) también es otro cero. Dicho de otra manera y sabiendo que van a caer todos dentro de la banda crítica; si 1/2+a es la parte real de un cero, 1/2-a será también la parte real de otro cero.
Sigámonos fijando en la gráfica. Puede observarse que conforme los ceros están más arriba (tienen la parte imaginaria mayor) están más juntos, es como si se apretaran. Estudiando la función se llegó a la fórmula empírica donde 𝜟 es el espaciado medio entre ceros a la "altura" T de la "banda crítica".
Cuanto mayor es T, más precisa es la fórmula. Como curiosidad el famoso matemático Ardrew Odlyzko publicó una lista con los 10.000 primeros ceros de la función, el último de ellos caía más o menos cerca de este número: 1/2+1.370.919.909.931.995.308.897i. ¡Vemos que está bastante arriba! ¡No sé si yo sería capaz de nombrar este número tan grande! La diferencia de este cero con su anterior nos da un valor de 0,13416467. Pues bien si metemos esa "altura" en la fórmula, nos da una media de espaciado 𝜟=0,13417894... La aproximación parece funcionar razonablemente bien.
Para terminar con el análisis de la gráfica en cuestión, podemos decir que es simétrica respecto al eje real.
Por simplicidad sólo hemos dibujado la parte superior (valores positivos del eje imaginario). Si hubiéramos dibujado la parte negativa del eje imaginario hubiéramos descubierto que todos los puntos trazados tienen su correspondiente complejo conjugado. Esto se veía venir ya que como se ha dicho antes, se demostró en su día que los ceros no triviales aparecían en pares complejos conjugados.
Por ello puede decirse que:
Nos hemos centrado en el plano de los argumentos y hemos representado aquellos argumentos que tras pasar por la función 𝜻(s) dan un valor real-puro o imaginario-puro. Ahora centrémonos en dibujar el plano de los valores de la función 𝜻(s). Por ejemplo el argumento 1/2+14,134725142...i nos dará 0 en dicho plano, es decir:
Pero qué argumentos pueden ser de valor ahora representar. En este caso lo tenemos muy fácil, como sabemos que los ceros no triviales está alineados en el valor real 1/2, vamos a representar los argumentos de la línea crítica, es decir todos aquellos cuya parte real = 1/2. Tendremos una gráfica como esta:
Como hemos dicho que vamos a representar sólo los valores cuya parte real es 1/2, empezamos evidentemente con 1/2+0i. Si recordáis de entradas anteriores del blog 𝜻(1/2)= -1,4603545'88095... Si vamos siguiendo la curva, para los siguientes valores forma una especie de semicircunferencia que recorreríamos en el sentido antihorario, cruzando el eje real cerca de 0,5 y empezando a describir bucles, ahora en sentido horario. El primer bucle cruza al eje real un poco más arriba de 1,5 para enfilarse al origen, punto 0+0i. El valor del argumento tras ese primer cruce por el origen como todos sabemos es: 1/2+14,134725142...i. Después la gráfica sigue describiendo bucles en sentido horario, unos más grandes que otros, pasando por el origen de coordenadas. El siguiente paso por el origen me imagino que lo habéis adivinado, es para el argumento: 1/2+21,022039639...i, el siguiente paso es para 1/2+25,010857580...i y así va pasando por el origen infinitas veces. Recordad que se han calculado trillones de ceros de la función 𝜻(s).
Para terminar podemos decir que los matemáticos consideran la primera gráfica (plano de argumentos), en la que sale la "banda crítica" en color rosado, como una herramienta mucho más potente para desentrañar los misterios de la Función de Riemann.
