Si hacemos una tabla calculando la suma de bastantes términos obtenemos lo siguiente:
Cuando s toma valor 1 tenemos la serie armónica que sabemos que diverge, es decir que suma infinito. Cuando toma valores pares, tenemos las soluciones que propuso Euler, ¿pero qué ocurre cuando s toma valores impares?
Hasta ahora nadie ha sido capaz de calcular una forma cerrada para esas sumas, aunque se sabe que convergen.
Quizá el único resultado destacable al respecto es la denominada Constante de Apéry, y que no es más que la suma de la serie para s=3, este matemático francés demostró en 1977 que la suma es un número irracional. Sobre esta constante, y como curiosidad matemática podemos decir que su recíproco 1/1,202056903159... corresponde con la probabilidad de que eligiendo tres números enteros al azar, no tengan ningún factor (cuando los descomponemos en factores primos) en común. Esta probabilidad es aproximadamente del 83% es decir: 1/1,202056903159..=0,831907372580...
Volviendo a al título de esta entrada, la Función Zeta de Riemann tiene una forma que ya dominamos y que no es más que el caso general de la serie originaria del Problema de Basilea:
Como a los matemáticos les gusta ahorrar escritura en el sumatorio ponen sólo n en la parte inferior pero es exactamente lo mismo que hemos visto antes: suma infinita para todos los números naturales, 1, 2, 3, ... También es muy común encontrarse la serie escrita de la manera alternativa:
La serie converge para cualquier número entero mayor que 1. Pero ¿qué ocurre si hacemos que s no sea un número entero? Si nos vamos acercando cada vez más a 1 dónde sabemos que la serie diverge, el resultado de la suma es cada vez mayor:
Conforme nos acercamos a s=1 el resultado de la suma se dispara a valores enormemente altos, lo que indica que la serie no tiende a ningún valor, sencillamente cada vez el resultado de la suma es más disparatadamente grande, tendiendo infinito. Puede que una gráfica de la función nos ayude a verlo todo con mejor en perspectiva.
Para cualquier valor s>1 la serie tiene suma concreta, tendiendo sumar 1 cuando s→∞.
Conforme s→1, las serie tiende a sumar ∞.
Ya tenemos claro cómo funciona la Función Zeta para valores s>1. ¿Pero qué ocurre para valores s<1?
En el caso de que s=0, la serie se nos transforma en:
Comprobamos que para s=-1 y de la misma manera para todos los negativos la suma también diverge. Por lo tanto podemos deducir que la gráfica anterior muestra lo fundamental de la Función Zeta y que no hay nada más, la función solo tiene valores finitos para s>1, dicho de otra manera, el dominio de la función es para todos los valores superiores a 1. ¡Y se acabó!
¿Pero estamos en lo cierto?
Evidentemente no, Riemann tuvo una genial idea de extender la función a otro tipo de números y no quedándose sólo en los Reales.
Esto ya lo veremos en otra entrada, pero os dejo una imagen con una pista sobre la idea de Riemann.
