Ceros Triviales de la función Z. ¿Qué es eso de un cero trivial?

Sabemos que a los matemáticos les gusta liarla, bueno digamos que no se dan por vencidos a las primeras de cambio, y en esta entrada vamos a ver un claro ejemplo de ello.

Si recordáis en la entrada de este blog sobre la Función Z de Riemann se dijo que esta función divergía claramente para valores de s<1, pero como también se dice en esa entrada, el genial matemático alemán tuvo la idea de extender s al dominio de los números complejos y entonces eso cambió las cosas.

Si ahora se podía calcular el valor de la función para s<1, se podía intentar dibujarla para esos valores.

Nosotros no somos tan listos como Riemann, por eso vamos a intentar ver que la función tiene valores para s<1 pero de una manera poco rigurosa. Lo primero, si recodamos de bachillerato, cuando queremos dibujar una función lo primero que calculamos son sus ceros, es decir los puntos en los que corta el eje de abscisas.

El cálculo de esto es bastante complejo, pero con una ayudita y una simplificación matemática no muy rigurosa, lo vamos a entender de una manera muy sencilla, aunque los que más saben de matemáticas pensaran que les estoy tomando el pelo.

Recordando la función de Riemann:

Podemos definir una nueva función muy parecida, pero en la que los signos se vayan alternando.

Como ya hemos visto en otras entradas del blog, este último tipo de series es más fácil que converja que la de Riemann, puesto que siempre vamos restando algo a cada suma y vemos que de alguna manera cada sumando par va restando, cancelando en cierta medida, lo que su antecesor sumó. Se puede demostrar que este tipo de series convergen siempre que s>0
Empecemos ahora con el artificio:

Si miráis la expresión siguiente estaréis de acuerdo conmigo en que si añadimos el mismo término sumando y restando (dentro de círculos rojos) nada cambia.

Luego agrupamos términos y sacamos factor común los sumandos negativos. Hemos hecho este artificio para convertir un suma/resta alternativa en una suma menos un término.

Si asumimos:

Nos queda entonces:

Por lo tanto, sustituyendo los términos tendríamos:

Si tenemos en cuenta que,

Podemos arreglar un poco más la expresión que estamos manipulando para que nos quede,

Ahora ya tenemos identificada cada una de las series conocidas, por lo tanto,

Y finalmente despejamos la función de Riemann para ver a qué podría ser equivalente:

Puesto que tenemos una serie a cada lado del símbolo igual, podemos pensar que si calculo un valor para 𝛈(s) no debe ser muy difícil calcular un valor para 𝛇(s). Si recordamos 𝛈(s) converge para valores de s>0 y si 𝛇(s) para valores s>1, pues con este truco podemos calcular valores de 𝛇(s) para 0<s<1 y así hallar, por ejemplo, el valor antes "prohibido" de 𝛇(1/2) y que resulta ser -1,460354508...

Como he comentado antes este es un truco sin ninguna rigurosidad pero que nos permite calcular valores, que de otra forma sería casi imposible.
Estos trucos malabares algunas veces son utilizados por los matemáticos para hacerse una idea de por dónde van los tiros. De esta forma Riemann en su artículo de 1859 terminó de perfilar una fórmula sugerida por Euler en 1749 para el cálculo de valores de 𝛇(s) conociendo otro valor de la función.

Con esta ecuación funcional ahora es sencillo intuir los llamados ceros triviales. Si vamos dando valores a "s" y sustituyéndolos, la única parte de la ecuación que nos puede dar cero es la función trigonométrica que ahí aparece. Simplifiquemos un poco, por claridad, la función poniendo que es algo multiplicado por la función seno. Para no confundirnos con la variable s al valor que vamos a ir sustituyendo le llamaremos x:

Podemos ver claramente, con esta simplificación, que la función Zeta en los valores 𝜁(-2), 𝜁(-4), 𝜁(6), ... la función vale cero. ¡Estos son los ceros triviales! La función se anula para todos los valores pares menores que cero. Un matemático lo escribiría:

Volviendo a esa ecuación, que hemos llamado funcional, observamos que para calcular su valor en un punto necesitamos conocer el de otro. Por ejemplo, si conocemos 𝜁(16) podemos calcular 𝜁(-15), si conocemos 𝜁(1,5) podemos calcular 𝜁(-0.5) o si conocemos 𝜁(0,29999) podemos calcular 𝜁(0,70001).
¿Pero qué pasa si s=1/2? Entonces tenemos:

¡Vaya tenemos lo mismo, es decir 𝜁(1/2), en los dos lados de la igualdad por lo que no lo podremos calcular! ¿Pero falla la fórmula? Veamos.

Como veis lo único que se ha hecho es sustituir los valores numéricos

Sólo recordaros que los factoriales sí pueden calcularse para número negativos y fraccionarios y en eso tiene mucho que ver la función 𝜞(n) (gamma) y de la que puede que algún día hablemos.

Está claro que la ecuación funciona perfectamente, pero no nos puede calcular ningún valor para 𝜁(1/2) porque lo que nos da es una igualdad evidente. ¡Menos mal que este valor "prohibido" lo hemos calculado con el truco de antes! Podemos pensar que existe una especie de "eje de simetría"  en 1/2 que relaciona un punto  con su opuesto respecto al mismo pero de una manera rarísima y que no es fácil de ver.

Para terminar y cogiendo unas gráficas del libro "Prime Obsession" de John Derbyshire podemos ver una representación de los ceros triviales, su magnitud y rareza de comportamiento.

En la gráfica se representa en abscisa el valor de s y en ordenada el valor de  𝜁(s). Podemos ver en la gráfica de la izquierda que 𝜁(1/2)=-1,4603545... para después cortar al eje de ordenadas en -1/2, es decir 𝜁(0)= -0.5. Después la curva sigue descendiendo hasta que 𝜁(-2)=0, primer cero trivial.

Si ahora nos fijamos en la gráfica de la derecha, hemos hecho una pequeña ampliación, 𝜁(s) va oscilando alrededor del eje s, cortándolo en los valores -4, -6, -8, -10, -12 y -14, siguientes ceros triviales. Las oscilaciones cada vez se hacen más grandes. Por ejemplo , el máximo entre -2 y -4 tiene un valor de 0,0091598... y el mínimo entre -4 y -6 vale -0,003986... El nuevo máximo entre -6 y -8 tiene un valor 0,004194... y a partir de aquí las oscilaciones empiezan a aumentar dando lugar a máximos cada vez más altos y mínimos cada vez más profundos. El mínimo entre -8 y -10 tiene un valor de -0,0078308... y el máximo que hay entre -10 y -12 alcanza 0,022730748....

Los máximos y los mínimos no paran de crecer, por lo que tenemos que ir cambiando de escala continuamente si queremos apreciarlos. Vemos que el máximo que hay entre -18 y -20 ya tiene un valor muy superior a sus anteriores, pero es que en la siguiente gráfica el mínimo que hay entre los ceros -24 y -26 está en el entorno de -80.000.

Seguimos cambiando de escala porque si no no veríamos nada. Vemos que ahora el máximo ente los ceros -30 y -32 está en el entorno de 700.000.000 (la m significa millón en la gráfica). Si no cambiáramos de escala no podríamos ver nada. La prueba es que los máximos y mínimos anteriores aparecen casi como una línea recta superpuesta al eje S debido al rápido aumento de estas oscilaciones de la gráfica. El mínimo entre -36 y -38 vale aproximadamente un poco más de -20 billones (en la gráfica está como tr porque un trillón anglosajón equivale a un billón nuestro)

Pero esto no para aquí.

Podemos ver que las oscilaciones cada vez son más exageradas. Como curiosidad podemos decir que el mínimo entre -48 y -50 vale aproximadamente -305.507.128.402.512.980.000.000

¿Habías visto alguna vez una función tan extraña y con un comportamiento tan espeluznante?

¡Y esto sólo para los valores negativos (ceros triviales)?
¿Qué más nos deparará esta misteriosa función?