Ceros Triviales de la función Z. ¿Qué es eso de un cero trivial?

Sabemos que a los matemáticos les gusta liarla, bueno digamos que no se dan por vencidos a las primeras de cambio, y en esta entrada vamos a ver un claro ejemplo de ello.

Si recordáis en la entrada de este blog sobre la Función Z de Riemann se dijo que esta función divergía claramente para valores de s<1, pero como también se dice en esa entrada, el genial matemático alemán tuvo la idea de extender s al dominio de los números complejos y entonces eso cambió las cosas.

Si ahora se podía calcular el valor de la función para s<1, se podía intentar dibujarla para esos valores.

Nosotros no somos tan listos como Riemann, por eso vamos a intentar ver que la función tiene valores para s<1 pero de una manera poco rigurosa. Lo primero, si recodamos de bachillerato, cuando queremos dibujar una función lo primero que calculamos son sus ceros, es decir los puntos en los que corta el eje de abscisas.

El cálculo de esto es bastante complejo, pero con una ayudita y una simplificación matemática no muy rigurosa, lo vamos a entender de una manera muy sencilla, aunque los que más saben de matemáticas pensaran que les estoy tomando el pelo.

Recordando la función de Riemann:

Podemos definir una nueva función muy parecida, pero en la que los signos se vayan alternando.

Como ya hemos visto en otras entradas del blog, este último tipo de series es más fácil que converja que la de Riemann, puesto que siempre vamos restando algo a cada suma y vemos que de alguna manera cada sumando par va restando, cancelando en cierta medida, lo que su antecesor sumó. Se puede demostrar que este tipo de series convergen siempre que s>0
Empecemos ahora con el artificio:

Si miráis la expresión siguiente estaréis de acuerdo conmigo en que si añadimos el mismo término sumando y restando (dentro de círculos rojos) nada cambia.

Luego agrupamos términos y sacamos factor común los sumandos negativos. Hemos hecho este artificio para convertir un suma/resta alternativa en una suma menos un término.

Si asumimos:

Nos queda entonces:

Por lo tanto, sustituyendo los términos tendríamos:

Si tenemos en cuenta que,

Podemos arreglar un poco más la expresión que estamos manipulando para que nos quede,

Ahora ya tenemos identificada cada una de las series conocidas, por lo tanto,

Y finalmente despejamos la función de Riemann para ver a qué podría ser equivalente:

Puesto que tenemos una serie a cada lado del símbolo igual, podemos pensar que si calculo un valor para 𝛈(s) no debe ser muy difícil calcular un valor para 𝛇(s). Si recordamos 𝛈(s) converge para valores de s>0 y si 𝛇(s) para valores s>1, pues con este truco podemos calcular valores de 𝛇(s) para 0<s<1 y así hallar, por ejemplo, el valor antes "prohibido" de 𝛇(1/2) y que resulta ser -1,460354508...

Como he comentado antes este es un truco sin ninguna rigurosidad pero que nos permite calcular valores, que de otra forma sería casi imposible.
Estos trucos malabares algunas veces son utilizados por los matemáticos para hacerse una idea de por dónde van los tiros. De esta forma Riemann en su artículo de 1859 terminó de perfilar una fórmula sugerida por Euler en 1749 para el cálculo de valores de 𝛇(s) conociendo otro valor de la función.

Con esta ecuación funcional ahora es sencillo intuir los llamados ceros triviales. Si vamos dando valores a "s" y sustituyéndolos, la única parte de la ecuación que nos puede dar cero es la función trigonométrica que ahí aparece. Simplifiquemos un poco, por claridad, la función poniendo que es algo multiplicado por la función seno. Para no confundirnos con la variable s al valor que vamos a ir sustituyendo le llamaremos x:

Podemos ver claramente, con esta simplificación, que la función Zeta en los valores 𝜁(-2), 𝜁(-4), 𝜁(6), ... la función vale cero. ¡Estos son los ceros triviales! La función se anula para todos los valores pares menores que cero. Un matemático lo escribiría:

Volviendo a esa ecuación, que hemos llamado funcional, observamos que para calcular su valor en un punto necesitamos conocer el de otro. Por ejemplo, si conocemos 𝜁(16) podemos calcular 𝜁(-15), si conocemos 𝜁(1,5) podemos calcular 𝜁(-0.5) o si conocemos 𝜁(0,29999) podemos calcular 𝜁(0,70001).
¿Pero qué pasa si s=1/2? Entonces tenemos:

¡Vaya tenemos lo mismo, es decir 𝜁(1/2), en los dos lados de la igualdad por lo que no lo podremos calcular! ¿Pero falla la fórmula? Veamos.

Como veis lo único que se ha hecho es sustituir los valores numéricos

Sólo recordaros que los factoriales sí pueden calcularse para número negativos y fraccionarios y en eso tiene mucho que ver la función 𝜞(n) (gamma) y de la que puede que algún día hablemos.

Está claro que la ecuación funciona perfectamente, pero no nos puede calcular ningún valor para 𝜁(1/2) porque lo que nos da es una igualdad evidente. ¡Menos mal que este valor "prohibido" lo hemos calculado con el truco de antes! Podemos pensar que existe una especie de "eje de simetría"  en 1/2 que relaciona un punto  con su opuesto respecto al mismo pero de una manera rarísima y que no es fácil de ver.

Para terminar y cogiendo unas gráficas del libro "Prime Obsession" de John Derbyshire podemos ver una representación de los ceros triviales, su magnitud y rareza de comportamiento.

En la gráfica se representa en abscisa el valor de s y en ordenada el valor de  𝜁(s). Podemos ver en la gráfica de la izquierda que 𝜁(1/2)=-1,4603545... para después cortar al eje de ordenadas en -1/2, es decir 𝜁(0)= -0.5. Después la curva sigue descendiendo hasta que 𝜁(-2)=0, primer cero trivial.

Si ahora nos fijamos en la gráfica de la derecha, hemos hecho una pequeña ampliación, 𝜁(s) va oscilando alrededor del eje s, cortándolo en los valores -4, -6, -8, -10, -12 y -14, siguientes ceros triviales. Las oscilaciones cada vez se hacen más grandes. Por ejemplo , el máximo entre -2 y -4 tiene un valor de 0,0091598... y el mínimo entre -4 y -6 vale -0,003986... El nuevo máximo entre -6 y -8 tiene un valor 0,004194... y a partir de aquí las oscilaciones empiezan a aumentar dando lugar a máximos cada vez más altos y mínimos cada vez más profundos. El mínimo entre -8 y -10 tiene un valor de -0,0078308... y el máximo que hay entre -10 y -12 alcanza 0,022730748....

Los máximos y los mínimos no paran de crecer, por lo que tenemos que ir cambiando de escala continuamente si queremos apreciarlos. Vemos que el máximo que hay entre -18 y -20 ya tiene un valor muy superior a sus anteriores, pero es que en la siguiente gráfica el mínimo que hay entre los ceros -24 y -26 está en el entorno de -80.000.

Seguimos cambiando de escala porque si no no veríamos nada. Vemos que ahora el máximo ente los ceros -30 y -32 está en el entorno de 700.000.000 (la m significa millón en la gráfica). Si no cambiáramos de escala no podríamos ver nada. La prueba es que los máximos y mínimos anteriores aparecen casi como una línea recta superpuesta al eje S debido al rápido aumento de estas oscilaciones de la gráfica. El mínimo entre -36 y -38 vale aproximadamente un poco más de -20 billones (en la gráfica está como tr porque un trillón anglosajón equivale a un billón nuestro)

Pero esto no para aquí.

Podemos ver que las oscilaciones cada vez son más exageradas. Como curiosidad podemos decir que el mínimo entre -48 y -50 vale aproximadamente -305.507.128.402.512.980.000.000

¿Habías visto alguna vez una función tan extraña y con un comportamiento tan espeluznante?

¡Y esto sólo para los valores negativos (ceros triviales)?
¿Qué más nos deparará esta misteriosa función?

Los rusos empiezan a interesarse por el tema

La universidad de San Petersburgo, junto a su Academia, era sin duda el principal lugar para la ciencia y el conocimiento en la Rusia zarista. Tras la expulsión de las tropas napoleónicas el país comenzó a notar algunos tímidos cambios sociales, prueba de ello fue la creación de las universidades de Kazán, Kharkov y Moscú. El fruto no se hizo esperar y aparecieron rutilantes figuras en muchos campos de la ciencia. Nosotros fijaremos nuestra atención en la figura de Chebyshev.

Escribo Chebyshev de esa manera, porque es la que parece más aceptada, por lo menos en los buscadores de internet, pero lo he visto escrito: Chebychev, Chebycheff, Tchebycheff, etc... Esto es debido a que se hace una transcripción fonética del cirílico; para que no quede ninguna duda lo dejo escrito tal y como se hace su lengua materna:

PAVNUTY LVOVICH CHEVYSHEV

Пафнуты Львович Чевишев

Puede que sea uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos pues sus contribuciones a diversos campos de la ciencia son fundamentales sobre todo estadística e ingeniería con su famosa desigualdad o sus polinomios para aproximar funciones, pero lo que aquí más nos interesa es su relación con el Teorema de los Números Primos.

Hacia 1849 Chevyshev escribió su primer artículo sobre el tema titulado "A cerca de la función que determina la totalidad de los números primos menores que un límite dado". Lo que hizo fue empezar a manipular el resultado de Euler, que ya hemos visto en entradas anteriores, y que no era más que la consecuencia de aplicar la Criba de Erastóstenes al "Problema de Basilea" de forma genérica.

Donde, como sabemos, el sumatorio recorre todos los "n" (números naturales) y el productorio todos los "p" (números primos), siempre elevados a un mismo número genérico aquí denominado "s". Pues bien, el resultado al que Chevyshev llegó fue sorprendente, porque demostró que la función que Gauss utilizó en el Teorema de los Números Primos, es decir 𝛑(x), estaba acotada por arriba y por abajo:

Posteriormente en 1881 J.J.Silvester refinó el método y obtuvo en una primera aproximación de a=0,95695... y b=1,04425... para valores de x muy altos, por lo que aproximando podríamos decir que  𝛑(x) no difiere más de un ±10% de x/logx.

Si manipulamos la expresión anterior obtenida por Chevishev obtenemos:

obteniendo lo que se llama resultado débil y que nos acota, como hemos mencionado antes, los valores posibles de la función 𝛑(x), pero si esto lo llevamos al límite:

llegamos al denominado resultado fuerte y que no es más que la denominada Ecuación Asintótica de los ℕ (números naturales). ¡Sorprendente!

Estos resultados fueron muy importantes para seguir comprendiendo el Teorema de los Números Primos, y puede que fuera la última vez en la que se utilizaran para ello métodos elementales, como dicen los matemáticos, pues no se usó el poder de las funciones de números complejos.

Estos resultados condujeron a que Chevishev demostrara el famoso postulado de Bertrand el cual dice:

Si n>3 entonces existirá al menos un número primo que cumple la condición n<p<2n.

Dicho de otra manera: "Entre cualquier número y su doble,

siempre hay intercalado, al menos, un número primo".

Posteriormente el genio y joven talento húngaro Paul Erdös, con 18 años de edad logró también demostrarlo de una manera más sencilla y muy ingeniosa pero que se escapa tangencialmente al objetivo de este blog, de todas maneras, puedes encontrar una versión muy sencilla en el siguiente enlace, que es un PDF de la Universidad Nacional Autónoma de México. También logró demostrarlo de otra forma, en este caso recurriendo a las propiedades de la función 𝚪(x) el genial matemático hindú Ramanujan sobre el que se ha realizado una película "El hombre que conocía el infinito" y que recomiendo disfrutar de ella.

También existe una demostración muy asequible a este postulado utilizado el método de inducción, fácilmente entendible y que puede descargarse en: https://arxiv.org/abs/1608.07240

Como podréis comprobar después de tanta demostración ya no debería llamarse postulado...

Paul Erdös

No podemos terminar esta entrada sobre Chevishev sin hablar de la famosa preferencia o sesgo que descubrió en los números primos. El genial matemático ruso hizo lo siguiente:
Dividió los números primos por 4 y fue anotando el resto, tal y como se ve en esta tabla.

En la primera línea aparecen los números primos, en la segunda el resto de dividirlos por 4, como es normal siempre será 1 o 3.  En la tercera línea, y esto es de lo que se percató Chevishev, vamos contando las veces que cada uno de los restos aparece. Por ejemplo para el número 29 han aparecido el mismo número de veces el resto 1 y el 3, por lo que ponemos 0, que sería "empate". Para el número 41 ha aparecido más veces el resto 1 que el resto 3 y por eso ponemos 1. Puede comprobarse enseguida que las veces que contamos resto 3 es mucho mayor que las veces que contamos 1. Vemos que a partir del primo 41 los restos 3 cogen la delantera y los 1 no vuelven a aparecer por delante en la cuenta hasta el primo 26.861.

Se ve que los primos tienen querencia o prefieren los restos de división mayores.

Esta prueba también se hizo dividiendo por 3 (restos posibles 2 y 1) obteniendo resultados más abultados, es decir los primos prefieren el resto 2 y este siempre lleva la delantera hasta el 608.981.813.029.

Lo más sorprendente del caso es que esa preferencia por el 3 en vez del 1 no se mantiene, se rompe como, se ha dicho, en el 26.861, pero vuelve a establecerse otra vez para volverse a romper de nuevo y así sucesivamente hasta el infinito. El matemático J. E. Littlewood probó en 1914 que este sesgo es roto continuamente aunque siempre haya un número preferido.

Al tratar con números altos puede ser que sea difícil verlo con claridad pero un par de gráficas nos ayudarán. En esta primero representamos la tabla de arriba, del número 5 al 97, concretamente la cuarta línea de la tabla anterior donde restamos el número de 3's del número de 1's aparecidos hasta el momento.

Conforme aparece más veces el tres, la gráfica se va separando más y más del eje x hacia arriba.

Si en vez de hacer esta gráfica para los números primos menores de 100, como hemos hecho, la hacemos para miles de números primos obtenemos esto:

La de la izquierda es cuando dividimos por 4 y vemos que toca al eje x por el número 26.861 para volverse a mantener siempre por encima, lo que implica que los restos 3 "ganan".
De la misma manera la gráfica de la derecha es para cuando dividimos por tres en este caso los restos 2 se mantienen siempre por encima y  no tocarán el eje x hasta el valor 608.981.813.029, como habíamos dicho y que no aparece aquí debido a su enormidad.

"El caprichoso comportamiento de los números primos nunca deja de sorprendernos"

Imagen de la espiral de Sacks. Un intento de comprender

el comportamiento de los números primos

Otra aproximación al Teorema de los números primos

Repaso

Si recordamos de bachiller, derivar estaba relacionado con el gradiente de una función, es decir cómo de rápido cambia. Por eso, la velocidad es la derivada del espacio (cuando un cuerpo se mueve la velocidad indica cómo de rápido cambia el espacio que hay junto a él) y la aceleración es la derivada de la velocidad (la aceleración indica cómo de rápido cambia la velocidad conforme aceleramos) cosa que podemos comprobar cuando pisamos el acelerador de un coche y miramos el indicador de velocidad del mismo.

Podemos decir que derivar está relacionado con restar. Para sacar, por ejemplo, el espacio recorrido a una velocidad, llamémosle 𝛥X, tengo que restar donde estoy ahora y donde estaba hace un rato. En la ilustración lo vemos más claro,

Otra interpretación es que la derivada es la pendiente de una curva matemática en un punto dado:

La tangente a una curva en un punto P, es lo mismo que la pendiente (azul) de la curva (verde) y que nos da una idea de como crece o decrece la curva en ese punto. La pendiente es igual a 𝛥y/𝛥x

Si seguimos recordando de bachiller, la integral es la operación contraria a la derivada. Podemos decir que está relacionada con sumar, de ahí que su símbolo sea una "s" muy estilizada. Por eso también se asimila que una integral definida entre dos puntos sea el área encerrada bajo la curva, como indica la figura:

Es decir la integral entre las coordenadas a y b de la función f(x), representada por la curva roja, es el valor de la superficie o área que queda bajo la curva y los puntos de abscisas a y b.
Cuando hablamos de integral indefinida, es decir sin límites arriba y abajo (a y b en nuestro ejemplo), y como hemos dicho que es la operación opuesta a la derivación:

para derivada se ha utilizado la notación de Lagrange (matemático francés) que consiste en un ' (apóstrofe). Dicho de otra manera f(x) es la derivada de F(x) y por tanto su pendiente.

Otra aproximación al Teorema de los Números Primos.

Si recordamos de la primera entrada de este blog, Gauss encontró una aproximación para la acumulación de los números primos, o mejor dicho cuántos primos hay menores que un número N dado. N no tiene que ser primo, puede ser cualquier número. Por ejemplo si N=8, entonces el número de primos menores que 8 es 4 (𝛑(8)=4, es decir los números 2, 3, 5 y 7). Si N=10 el número de primos menores que 10 también es 4 (𝛑(10)=4, los números 2, 3, 5 y 7). En el caso de N=15 el valor de 𝛑(15)=6 (ya que los primos menores que 15 son 2, 3, 5, 7, 11 y 13). Vemos que 𝛑(x) es una función escalonada ya que para distintas x tiene el mismo valor, lo hemos comprobado con 𝛑(8) = 𝛑(10) = 4. Los escalones son totalmente irregulares en longitud, pues nunca sabemos cuándo aparecerá el siguiente número primo.

La aproximación de Gauss que se acerca a esa escalinata es:

este comportamiento, salvando las distancias, sería aproximado al de una función acumulativa de probabilidad, y que 1/ln(x) sería la probabilidad de que un numero elegido al azar entre 1 y x fuera primo, por lo que el cuerpo nos pediría probar con esta función:

a la que llamaron Logaritmo Integral de ahí "Li". Es una función normal y corriente lo que pasa es que para calcular cada valor de Li(x) hay que hacer una integral. Si representamos esta función tenemos:

Para el valor 1 la función se va hacia el infinito negativo volviendo después de allí y cruzando el eje de abscisas en el punto 1.451369... a partir del cual ya no para de crecer, lo que es lógico si queremos que represente la acumulación de números primos. A partir x=2 la gráfica empieza a tener sentido, por lo que generalmente encontramos la función Li(x) expresada de la siguiente forma:

Si empezamos a darle valores a x, comprobamos que Li(x) es una mejor aproximación a 𝛑(x). Al principio cuando N es un número bajo ambas estimaciones son buenas, pero conforme N se hace más grande la estimación de Li(x) es mucho mejor. En la tabla siguiente podemos verlo. Empezamos tomando N muy grande, 100 millones.

Se observa que por ejemplo para N igual a diez mil millones, tercera fila, el número de primos que hay es de 455.052.511. El cálculo por la fórmula de Gauss nos da un error absoluto de -20.758.030, pero en cambio por la estimación Li(N) el error es sólo de 3.104.

Por los signos en la tabla podemos comprobar que la aproximación de Gauss siempre da error negativo, es decir que el valor es inferior al real, y la gráfica siempre va por debajo (línea azul), en cambio Li(N) siempre va más ajustada por arriba (línea roja). De esta forma si representamos las aproximaciones con la función 𝛑(x) real (línea negra en forma de escalinata), tenemos:

Como se puede comprobar estamos utilizando la potencia del análisis numérico para intentar aproximarnos a nuestro objetivo. En la próxima entrada analizaremos más aproximaciones realizadas en la historia para atacar este fabuloso problema.

La Criba de Eratóstenes

Eratóstenes de Cirene fue un famoso sabio griego nacido en el 276 a.C. y que logró portentosos descubrimientos para aquella época. Entre los más notables:

1. Logró calcular con gran precisión la circunferencia de la Tierra midiendo la sombra que proyectaban dos estacas calcadas en el suelo a medio día en dos ciudades separadas por una gran distancia: Alejadría y Siena (hoy Asuán). Este experimento lo hizo famoso, al menos para nuestra generación, Carl Sagan en su programa Cosmos. Si queréis ver de nuevo este trocito de vídeo aquí tenéis un enlace: Cosmos_Carl_Sagan_Eratóstenes. Este vídeo debería también ser visto por los "terraplanistas".
2. Dedujo la inclinación del eje de la Tierra respecto al Sol (hoy diríamos plano de la ecléctica)
3. Se atrevió a calcular la distancia entre el Sol y la Tierra.
4. Fue la primera persona a la que se le ocurrió intercalar un día adicional cada cuatro años (años bisiestos)
5. Inventó la esfera armilar, fundamental para la navegación y utilizada hasta el siglo XVII.
6. Se dice que levantó mapas con gran precisión y utilizó por primera vez el concepto de cuadrícula cartográfica (algo parecido a meridianos y paralelos).
7. Ideó la denominada Criba de Eratóstenes.

Esfera Armilar

Algunos le denominaron el segundo Platón y puede que sea uno de los sabios más importantes y prolíficos de la época. En su honor se han dado nombres a una montaña submarina, un cráter en la Luna, un asteroide y un periodo geológico lunar denominado Eratosteriano.

Pero lo que nos ha llevado a recordar su figura es la Criba de Eratóstenes que no es más que un sencillo algoritmo para obtener de una manera rápida los números primos menores que un número dado.

Vamos a ver cómo funciona este método con un ejemplo, buscando los primos menores que 100:

• Escribamos los números del 1 al 100 de una manera que nos sea fácil localizarlos, una tabla es una buena opción.
• Tachemos el número 1 porque no es primo. No se considera primo porque no es divisible por dos números como todos los primos. El 1 es sólo divisible por sí mismo. Los primos son divisible por 1 y por sí mismos.
• El siguiente número, el 2, seguro que es primo porque sólo tiene el 1 por debajo. No lo tachamos, pero sí todos sus múltiplos porque no van a ser primos.

• Ahora hagamos lo mismo con el 3, que seguro que también es primo. Luego tachemos sus múltiplos.

• Hagamos lo mismo con el 5.

• Igual con el 7.

• Podemos observar que siempre el primer número que nos vamos encontrando es primo. Ahora hagamos lo mismo con el 11, y vemos que sus múltiplos 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99 ya estaban eliminados.
• Sigamos con el 13 y pasa lo mismo que con el 11 sus múltiplos menores que 100 están ya tachados, eso pasa con el resto.
• Tras la última criba realizada, nos quedan los números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, que son los primos menores que 100.

Tenemos entonces que los números no tachados son los primos menores que 100. Esto lo hemos hecho de una manera fácil y rápida porque son 100 números, pero se vuelve muy complicado si intentamos hacerlo para 1000 o 10000; ¡no te digo para 10000 o más, un auténtico infierno!

Este método es sencillo para trabajar con cifras bajas.

Pues bien, el genial Euler lo utilizó de una forma original, asombrosa y elegante, propia de un genio como él, con la que posteriormente se llamaría Función Zeta de Riemann y que vimos en la entrada anterior del blog.
Veamos cómo realizó la criba pues es de matemáticas elementales y es muy fácil seguir. Partamos de nuestra ya conocida Función Zeta:

Multipliquemos ambos lados de la igualdad por 1/2ˢ, por lo que:

Ahora restamos la primera expresión de la segunda:

Observándose que la resta ha eliminado todos los denominadores pares de la parte derecha de la igualdad. Siguiendo con la criba procedamos igual con el siguiente término 1/3ˢ, primero multiplicamos por el resultado de la resta anterior:

De nuevo restamos ambas expresiones:

Vemos ahora que los múltiplos de 3 desaparecen tras la resta, como antes había pasado con los múltiplos de 2. Procedamos ahora con los múltiplos de 5, para ello multipliquemos por 1/5ˢ y restemos de nuevo, obteniendo...

La criba ya nos ha quitado lo múltiplos de 2, 3 y 5. Podríamos estar haciendo esto hasta el infinito, por siempre jamás, y entonces obtendríamos:

dónde podemos observar que nos hemos quedado con los primos como denominador en cada paréntesis. El paso genial ahora es que si dividimos a ambos lados de la igualdad por cada uno de los paréntesis nos queda:

El asombroso resultado de Euler puede ser escrito de diversas maneras. Vemos que se relaciona la Función Zeta con el producto infinito de los inversos de unas expresiones que involucran a los números primos.

Escribiéndolo todo de una manera más compacta y recordando que,

Tenemos entonces,

Lo que relaciona una suma infinita (Función Zeta) de "números enteros" con un producto infinito, en este caso de números primos (p significa "número primo").

Esta expresión, denominada Fórmula Producto de Euler, puede también ser utilizada como una demostración alternativa de que el número de primos es infinito, es decir no acaban nunca; si hacemos s=1, como sabemos, la parte izquierda de la igualdad se convierte en la serie armónica y su suma no converge, es infinito. Por lo tanto el otro lado de la igualdad debe ser infinito también. Lo que quiere decir que hay un numero infinito de p (primos).