lunes, 23 de diciembre de 2019

Los rusos empiezan a interesarse por el tema

La universidad de San Petersburgo, junto a su Academia, era sin duda el principal lugar para la ciencia y el conocimiento en la Rusia zarista. Tras la expulsión de las tropas napoleónicas el país comenzó a notar algunos tímidos cambios sociales, prueba de ello fue la creación de las universidades de Kazán, Kharkov y Moscú. El fruto no se hizo esperar y aparecieron rutilantes figuras en muchos campos de la ciencia. Nosotros fijaremos nuestra atención en la figura de Chebyshev.
Escribo Chebyshev de esa manera, porque es la que parece más aceptada, por lo menos en los buscadores de internet, pero lo he visto escrito: Chebychev, Chebycheff, Tchebycheff, etc... Esto es debido a que se hace una transcripción fonética del cirílico; para que no quede ninguna duda lo dejo escrito tal y como se hace su lengua materna:

PAVNUTY LVOVICH CHEVYSHEV
Пафнуты Львович Чевишев

Puede que sea uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos pues sus contribuciones a diversos campos de la ciencia son fundamentales sobre todo estadística e ingeniería con su famosa desigualdad o sus polinomios para aproximar funciones, pero lo que aquí más nos interesa es su relación con el Teorema de los Números Primos.
Hacia 1849 Chevyshev escribió su primer artículo sobre el tema titulado "A cerca de la función que determina la totalidad de los números primos menores que un límite dado". Lo que hizo fue empezar a manipular el resultado de Euler, que ya hemos visto en entradas anteriores, y que no era más que la consecuencia de aplicar la Criba de Erastóstenes al "Problema de Basilea" de forma genérica.
Donde, como sabemos, el sumatorio recorre todos los "n" (números naturales) y el productorio todos los "p" (números primos), siempre elevados a un mismo número genérico aquí denominado "s". Pues bien, el resultado al que Chevyshev llegó fue sorprendente, porque demostró que la función que Gauss utilizó en el Teorema de los Números Primos, es decir 𝛑(x), estaba acotada por arriba y por abajo:
Posteriormente en 1881 J.J.Silvester refinó el método y obtuvo en una primera aproximación de a=0,95695... y b=1,04425... para valores de x muy altos, por lo que aproximando podríamos decir que  𝛑(x) no difiere más de un ±10% de x/logx.
Si manipulamos la expresión anterior obtenida por Chevishev obtenemos:
obteniendo lo que se llama resultado débil y que nos acota, como hemos mencionado antes, los valores posibles de la función 𝛑(x), pero si esto lo llevamos al límite:
llegamos al denominado resultado fuerte y que no es más que la denominada Ecuación Asintótica de los ℕ (números naturales). ¡Sorprendente!
Estos resultados fueron muy importantes para seguir comprendiendo el Teorema de los Números Primos, y puede que fuera la última vez en la que se utilizaran para ello métodos elementales, como dicen los matemáticos, pues no se usó el poder de las funciones de números complejos.
Estos resultados condujeron a que Chevishev demostrara el famoso postulado de Bertrand el cual dice:

Si n>3 entonces existirá al menos un número primo que cumple la condición n<p<2n.
Dicho de otra manera: "Entre cualquier número y su doble,
siempre hay intercalado, al menos, un número primo".


Posteriormente el genio y joven talento húngaro Paul Erdös, con 18 años de edad logró también demostrarlo de una manera más sencilla y muy ingeniosa pero que se escapa tangencialmente al objetivo de este blog, de todas maneras, puedes encontrar una versión muy sencilla en el siguiente enlace, que es un PDF de la Universidad Nacional Autónoma de México. También logró demostrarlo de otra forma, en este caso recurriendo a las propiedades de la función 𝚪(x) el genial matemático hindú Ramanujan sobre el que se ha realizado una película "El hombre que conocía el infinito" y que recomiendo disfrutar de ella.
También existe una demostración muy asequible a este postulado utilizado el método de inducción, fácilmente entendible y que puede descargarse en: https://arxiv.org/abs/1608.07240
Como podréis comprobar después de tanta demostración ya no debería llamarse postulado...
Paul Erdös

No podemos terminar esta entrada sobre Chevishev sin hablar de la famosa preferencia o sesgo que descubrió en los números primos. El genial matemático ruso hizo lo siguiente:
Dividió los números primos por 4 y fue anotando el resto, tal y como se ve en esta tabla.

En la primera línea aparecen los números primos, en la segunda el resto de dividirlos por 4, como es normal siempre será 1 o 3.  En la tercera línea, y esto es de lo que se percató Chevishev, vamos contando las veces que cada uno de los restos aparece. Por ejemplo para el número 29 han aparecido el mismo número de veces el resto 1 y el 3, por lo que ponemos 0, que sería "empate". Para el número 41 ha aparecido más veces el resto 1 que el resto 3 y por eso ponemos 1. Puede comprobarse enseguida que las veces que contamos resto 3 es mucho mayor que las veces que contamos 1. Vemos que a partir del primo 41 los restos 3 cogen la delantera y los 1 no vuelven a aparecer por delante en la cuenta hasta el primo 26.861.
Se ve que los primos tienen querencia o prefieren los restos de división mayores.
Esta prueba también se hizo dividiendo por 3 (restos posibles 2 y 1) obteniendo resultados más abultados, es decir los primos prefieren el resto 2 y este siempre lleva la delantera hasta el 608.981.813.029.
Lo más sorprendente del caso es que esa preferencia por el 3 en vez del 1 no se mantiene, se rompe como, se ha dicho, en el 26.861, pero vuelve a establecerse otra vez para volverse a romper de nuevo y así sucesivamente hasta el infinito. El matemático J. E. Littlewood probó en 1914 que este sesgo es roto continuamente aunque siempre haya un número preferido.
Al tratar con números altos puede ser que sea difícil verlo con claridad pero un par de gráficas nos ayudarán. En esta primero representamos la tabla de arriba, del número 5 al 97, concretamente la cuarta línea de la tabla anterior donde restamos el número de 3's del número de 1's aparecidos hasta el momento.
Conforme aparece más veces el tres, la gráfica se va separando más y más del eje x hacia arriba.
Si en vez de hacer esta gráfica para los números primos menores de 100, como hemos hecho, la hacemos para miles de números primos obtenemos esto:
La de la izquierda es cuando dividimos por 4 y vemos que toca al eje x por el número 26.861 para volverse a mantener siempre por encima, lo que implica que los restos 3 "ganan".
De la misma manera la gráfica de la derecha es para cuando dividimos por tres en este caso los restos 2 se mantienen siempre por encima y  no tocarán el eje x hasta el valor 608.981.813.029, como habíamos dicho y que no aparece aquí debido a su enormidad.

"El caprichoso comportamiento de los números primos nunca deja de sorprendernos"


Imagen de la espiral de Sacks. Un intento de comprender
el comportamiento de los números primos

miércoles, 4 de diciembre de 2019

Otra aproximación al Teorema de los números primos

Repaso

Si recordamos de bachiller, derivar estaba relacionado con el gradiente de una función, es decir cómo de rápido cambia. Por eso, la velocidad es la derivada del espacio (cuando un cuerpo se mueve la velocidad indica cómo de rápido cambia el espacio que hay junto a él) y la aceleración es la derivada de la velocidad (la aceleración indica cómo de rápido cambia la velocidad conforme aceleramos) cosa que podemos comprobar cuando pisamos el acelerador de un coche y miramos el indicador de velocidad del mismo.
Podemos decir que derivar está relacionado con restar. Para sacar, por ejemplo, el espacio recorrido a una velocidad, llamémosle 𝛥X, tengo que restar donde estoy ahora y donde estaba hace un rato. En la ilustración lo vemos más claro,

Otra interpretación es que la derivada es la pendiente de una curva matemática en un punto dado:
La tangente a una curva en un punto P, es lo mismo que la pendiente (azul) de la curva (verde) y que nos da una idea de como crece o decrece la curva en ese punto. La pendiente es igual a 𝛥y/𝛥x

Si seguimos recordando de bachiller, la integral es la operación contraria a la derivada. Podemos decir que está relacionada con sumar, de ahí que su símbolo sea una "s" muy estilizada. Por eso también se asimila que una integral definida entre dos puntos sea el área encerrada bajo la curva, como indica la figura:
Es decir la integral entre las coordenadas a y b de la función f(x), representada por la curva roja, es el valor de la superficie o área que queda bajo la curva y los puntos de abscisas a y b.
Cuando hablamos de integral indefinida, es decir sin límites arriba y abajo (a y b en nuestro ejemplo), y como hemos dicho que es la operación opuesta a la derivación:
para derivada se ha utilizado la notación de Lagrange (matemático francés) que consiste en un ' (apóstrofe). Dicho de otra manera f(x) es la derivada de F(x) y por tanto su pendiente.

Otra aproximación al Teorema de los Números Primos.

Si recordamos de la primera entrada de este blog, Gauss encontró una aproximación para la acumulación de los números primos, o mejor dicho cuántos primos hay menores que un número N dado. N no tiene que ser primo, puede ser cualquier número. Por ejemplo si N=8, entonces el número de primos menores que 8 es 4 (𝛑(8)=4, es decir los números 2, 3, 5 y 7). Si N=10 el número de primos menores que 10 también es 4 (𝛑(10)=4, los números 2, 3, 5 y 7). En el caso de N=15 el valor de 𝛑(15)=6 (ya que los primos menores que 15 son 2, 3, 5, 7, 11 y 13). Vemos que 𝛑(x) es una función escalonada ya que para distintas x tiene el mismo valor, lo hemos comprobado con 𝛑(8) = 𝛑(10) = 4. Los escalones son totalmente irregulares en longitud, pues nunca sabemos cuándo aparecerá el siguiente número primo.


La aproximación de Gauss que se acerca a esa escalinata es:
este comportamiento, salvando las distancias, sería aproximado al de una función acumulativa de probabilidad, y que 1/ln(x) sería la probabilidad de que un numero elegido al azar entre 1 y x fuera primo, por lo que el cuerpo nos pediría probar con esta función:
a la que llamaron Logaritmo Integral de ahí "Li". Es una función normal y corriente lo que pasa es que para calcular cada valor de Li(x) hay que hacer una integral. Si representamos esta función tenemos:

Para el valor 1 la función se va hacia el infinito negativo volviendo después de allí y cruzando el eje de abscisas en el punto 1.451369... a partir del cual ya no para de crecer, lo que es lógico si queremos que represente la acumulación de números primos. A partir x=2 la gráfica empieza a tener sentido, por lo que generalmente encontramos la función Li(x) expresada de la siguiente forma:
Si empezamos a darle valores a x, comprobamos que Li(x) es una mejor aproximación a 𝛑(x). Al principio cuando N es un número bajo ambas estimaciones son buenas, pero conforme N se hace más grande la estimación de Li(x) es mucho mejor. En la tabla siguiente podemos verlo. Empezamos tomando N muy grande, 100 millones.
Se observa que por ejemplo para N igual a diez mil millones, tercera fila, el número de primos que hay es de 455.052.511. El cálculo por la fórmula de Gauss nos da un error absoluto de -20.758.030, pero en cambio por la estimación Li(N) el error es sólo de 3.104.
Por los signos en la tabla podemos comprobar que la aproximación de Gauss siempre da error negativo, es decir que el valor es inferior al real, y la gráfica siempre va por debajo (línea azul), en cambio Li(N) siempre va más ajustada por arriba (línea roja). De esta forma si representamos las aproximaciones con la función 𝛑(x) real (línea negra en forma de escalinata), tenemos:

Como se puede comprobar estamos utilizando la potencia del análisis numérico para intentar aproximarnos a nuestro objetivo. En la próxima entrada analizaremos más aproximaciones realizadas en la historia para atacar este fabuloso problema.



martes, 16 de julio de 2019

La Criba de Eratóstenes

Eratóstenes de Cirene fue un famoso sabio griego nacido en el 276 a.C. y que logró portentosos descubrimientos para aquella época. Entre los más notables:

  1. Logró calcular con gran precisión la circunferencia de la Tierra midiendo la sombra que proyectaban dos estacas calcadas en el suelo a medio día en dos ciudades separadas por una gran distancia: Alejadría y Siena (hoy Asuán). Este experimento lo hizo famoso, al menos para nuestra generación, Carl Sagan en su programa Cosmos. Si queréis ver de nuevo este trocito de vídeo aquí tenéis un enlace: Cosmos_Carl_Sagan_Eratóstenes. Este vídeo debería también ser visto por los "terraplanistas".
  2. Dedujo la inclinación del eje de la Tierra respecto al Sol (hoy diríamos plano de la ecléctica)
  3. Se atrevió a calcular la distancia entre el Sol y la Tierra.
  4. Fue la primera persona a la que se le ocurrió intercalar un día adicional cada cuatro años (años bisiestos)
  5. Inventó la esfera armilar, fundamental para la navegación y utilizada hasta el siglo XVII.
  6. Se dice que levantó mapas con gran precisión y utilizó por primera vez el concepto de cuadrícula cartográfica (algo parecido a meridianos y paralelos).
  7. Ideó la denominada Criba de Eratóstenes.
Esfera Armilar

Algunos le denominaron el segundo Platón y puede que sea uno de los sabios más importantes y prolíficos de la época. En su honor se han dado nombres a una montaña submarina, un cráter en la Luna, un asteroide y un periodo geológico lunar denominado Eratosteriano.

Pero lo que nos ha llevado a recordar su figura es la Criba de Eratóstenes que no es más que un sencillo algoritmo para obtener de una manera rápida los números primos menores que un número dado.
Vamos a ver cómo funciona este método con un ejemplo, buscando los primos menores que 100:

  • Escribamos los números del 1 al 100 de una manera que nos sea fácil localizarlos, una tabla es una buena opción.
  • Tachemos el número 1 porque no es primo. No se considera primo porque no es divisible por dos números como todos los primos. El 1 es sólo divisible por sí mismo. Los primos son divisible por 1 y por sí mismos.
  • El siguiente número, el 2, seguro que es primo porque sólo tiene el 1 por debajo. No lo tachamos, pero sí todos sus múltiplos porque no van a ser primos.

  • Ahora hagamos lo mismo con el 3, que seguro que también es primo. Luego tachemos sus múltiplos.
  • Hagamos lo mismo con el 5.


  • Igual con el 7.

  • Podemos observar que siempre el primer número que nos vamos encontrando es primo. Ahora hagamos lo mismo con el 11, y vemos que sus múltiplos 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99 ya estaban eliminados.
  • Sigamos con el 13 y pasa lo mismo que con el 11 sus múltiplos menores que 100 están ya tachados, eso pasa con el resto.
  • Tras la última criba realizada, nos quedan los números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, que son los primos menores que 100.
Tenemos entonces que los números no tachados son los primos menores que 100. Esto lo hemos hecho de una manera fácil y rápida porque son 100 números, pero se vuelve muy complicado si intentamos hacerlo para 1000 o 10000; ¡no te digo para 10000 o más, un auténtico infierno!
Este método es sencillo para trabajar con cifras bajas.
Pues bien, el genial Euler lo utilizó de una forma original, asombrosa y elegante, propia de un genio como él, con la que posteriormente se llamaría Función Zeta de Riemann y que vimos en la entrada anterior del blog.
Veamos cómo realizó la criba pues es de matemáticas elementales y es muy fácil seguir. Partamos de nuestra ya conocida Función Zeta:
Multipliquemos ambos lados de la igualdad por 1/2ˢ, por lo que:
Ahora restamos la primera expresión de la segunda:
Observándose que la resta ha eliminado todos los denominadores pares de la parte derecha de la igualdad. Siguiendo con la criba procedamos igual con el siguiente término 1/3ˢ, primero multiplicamos por el resultado de la resta anterior:
De nuevo restamos ambas expresiones:


Vemos ahora que los múltiplos de 3 desaparecen tras la resta, como antes había pasado con los múltiplos de 2. Procedamos ahora con los múltiplos de 5, para ello multipliquemos por 1/5ˢ y restemos de nuevo, obteniendo...
La criba ya nos ha quitado lo múltiplos de 2, 3 y 5. Podríamos estar haciendo esto hasta el infinito, por siempre jamás, y entonces obtendríamos:
dónde podemos observar que nos hemos quedado con los primos como denominador en cada paréntesis. El paso genial ahora es que si dividimos a ambos lados de la igualdad por cada uno de los paréntesis nos queda:

El asombroso resultado de Euler puede ser escrito de diversas maneras. Vemos que se relaciona la Función Zeta con el producto infinito de los inversos de unas expresiones que involucran a los números primos.
Escribiéndolo todo de una manera más compacta y recordando que,
Tenemos entonces,
Lo que relaciona una suma infinita (Función Zeta) de "números enteros" con un producto infinito, en este caso de números primos (p significa "número primo").
Esta expresión, denominada Fórmula Producto de Euler, puede también ser utilizada como una demostración alternativa de que el número de primos es infinito, es decir no acaban nunca; si hacemos s=1, como sabemos, la parte izquierda de la igualdad se convierte en la serie armónica y su suma no converge, es infinito. Por lo tanto el otro lado de la igualdad debe ser infinito también. Lo que quiere decir que hay un numero infinito de p (primos).




domingo, 14 de julio de 2019

Función Zeta de Riemann

Comencemos por recordar la anterior entrada "El Problema de Basilea" y que el genial Euler consiguió sorprendentes soluciones, pero sólo para los números pares.
Si hacemos una tabla calculando la suma de bastantes términos obtenemos lo siguiente:
Cuando s toma valor 1 tenemos la serie armónica que sabemos que diverge, es decir que suma infinito. Cuando toma valores pares, tenemos las soluciones que propuso Euler, ¿pero qué ocurre cuando s toma valores impares?
Hasta ahora nadie ha sido capaz de calcular una forma cerrada para esas sumas, aunque se sabe que convergen.
Quizá el único resultado destacable al respecto es la denominada Constante de Apéry, y que no es más que la suma de la serie para s=3, este matemático francés demostró en 1977 que la suma es un número irracional. Sobre esta constante, y como curiosidad matemática podemos decir que su recíproco 1/1,202056903159... corresponde con la probabilidad de que eligiendo tres números enteros al azar, no tengan ningún factor (cuando los descomponemos en factores primos) en común. Esta probabilidad es aproximadamente del 83% es decir: 1/1,202056903159..=0,831907372580...

Volviendo a al título de esta entrada, la Función Zeta de Riemann tiene una forma que ya dominamos y que no es más que el caso general de la serie originaria del Problema de Basilea:
Como a los matemáticos les gusta ahorrar escritura en el sumatorio ponen sólo n en la parte inferior pero es exactamente lo mismo que hemos visto antes: suma infinita para todos los números naturales, 1, 2, 3, ... También es muy común encontrarse la serie escrita de la manera alternativa:
La serie converge para cualquier número entero mayor que 1. Pero ¿qué ocurre si hacemos que s no sea un número entero? Si nos vamos acercando cada vez más a 1 dónde sabemos que la serie diverge, el resultado de la suma es cada vez mayor:
Conforme nos acercamos a s=1 el resultado de la suma se dispara a valores enormemente altos, lo que indica que la serie no tiende a ningún valor, sencillamente cada vez el resultado de la suma es más disparatadamente grande, tendiendo infinito. Puede que una gráfica de la función nos ayude a verlo todo con mejor en perspectiva.
Para cualquier valor s>1 la serie tiene suma concreta, tendiendo sumar 1 cuando s→∞.
Conforme s→1, las serie tiende a sumar .
Ya tenemos claro cómo funciona la Función Zeta para valores s>1. ¿Pero qué ocurre para valores s<1?
En el caso de que s=0, la serie se nos transforma en:
Y vemos que la suma diverge totalmente, es infinito. Para números negativos, s<0, la cosa es incluso peor.
Comprobamos que para s=-1 y de la misma manera para todos los negativos la suma también diverge. Por lo tanto podemos deducir que la gráfica anterior muestra lo fundamental de la Función Zeta y que no hay nada más, la función solo tiene valores finitos para s>1, dicho de otra manera, el dominio de la función es para todos los valores superiores a 1. ¡Y se acabó!

¿Pero estamos en lo cierto?
Evidentemente no, Riemann tuvo una genial idea de extender la función a otro tipo de números y no quedándose sólo en los Reales.
Esto ya lo veremos en otra entrada, pero os dejo una imagen con una pista sobre la idea de Riemann.

miércoles, 15 de mayo de 2019

El Problema de Basilea

Grandes personajes históricos han nacido en Basilea, algunos pensarán en Roger Federer, aunque a los amantes de las matemáticas les vendrá a la mente la figura de Leonard Euler. Esta ciudad también es famosa por ser donde los conocidos hermanos Bernoulli, Jackob y Johann fueron profesores en su universidad y ellos fueron los que pusieron al tanto a Euler sobre este problema.


Los griegos ya conocían la serie armónica, que deriva de la media armónica que vimos en la entrada anterior del blog. La serie armónica es la siguiente:

Se trata de una suma infinita, pero como cada vez le vamos sumando un número más pequeño puede que no sobrepase cierto límite, es decir que tienda a una cantidad. Eso en matemáticas se dice que la serie converge a ese número.
En el caso que nos ocupa podemos decir que la serie no converge a ningún número es decir que suma infinito.
De este resultado ya se dio cuenta, en la Edad Media, el profesor Nicole Oresme (1323-1382) el cual hizo una demostración singular y bastante intuitiva. 

Podemos observar que si de la serie armónica cogemos los dos primeros términos, señalados en rojo, su suma es superior a 1, por lo que lógicamente será superior a 1/2. Lo mismo ocurre si cogemos los dos siguientes, en azul, su suma es superior a 1/2. Con los cuatro siguientes ocurre lo mismo, señalados en verde. Lo mismo pasaría con los ocho siguientes y así sucesivamente, las sumas nunca superarían 1/2, por lo que:


Vemos que la suma de los infinitos términos de la serie, agrupados como lo hemos hecho, siempre es mayor que la suma de infinitos 1/2. La suma de infinitos 1/2 es infinito. Por lo tanto la serie no converge, su suma es infinito.
El tema quedó zanjado durante muchos años hasta que el profesor de aritmética de la Universidad de Bolonia, Pietro Mengoli (1626-1686) propuso una modificación a la serie armónica, que consistía en sumar el inverso de los cuadrados, en vez de el inverso solamente.
El hallar la suma de esta serie fue el denominado problema de Basilea propuesto por los Bernoulli y del que Leonard Euler dio buena cuenta.
Si nos fijamos esta serie tiene toda la pinta de converger, pues los denominadores al ir al cuadrado convergen de una manera muy rápida y a la suma cada vez se le añade un número más pequeño. Veámoslo más detalladamente:

Observemos que la suma cada vez se incrementa menos. Podemos ver en la tabla que se muestra a continuación:

El resultado de la suma de 1.000 términos es parecido hasta las milésimas a si sumamos 10.000 términos, lo que nos dice que la suma converge a un número entre 1,644 y 1,645. Pero eso no vale, los matemáticos necesitan saber a qué es igual esa suma de infinitos términos y por eso los Bernoulli lanzaron el reto al la comunidad científica.
El problema en su época se hizo muy popular y muchos trabajaron en ello hasta que Euler demostró que esa suma es igual a una cantidad sorprendente y que dejó a todos los sabios de época boquiabiertos.
¡Madre mía, el resultado de esta serie estaba relacionado nada más y nada menos que con 𝛑, la relación entre la circunferencia y su diámetro! ¿Qué tiene que ver una cosa con la otra? Euler además hizo varias demostraciones a este problema, y no solo eso, sino que siguió descubriendo nuevas relaciones para este tipo de series. Euler denominó a esta función 𝛇 (pronunciado: zeta) para tratarla de una manera general.
Si nos damos cuenta sólo funciona para potencias pares, y vemos que 𝛑 siempre está elevado a la misma potencia que n. Euler llegó hasta 𝛇(26) donde cada vez las fórmulas se complicaban más, por lo que su genialidad lo llevó hasta una expresión general para la función 𝛇:
En el que las B son los números de Bernoulli, que está relacionados con las sumas de potencias de números enteros positivos, pero que aquí aparecen anecdóticamente y no nos pararemos más en ellos. Se ha puesto la expresión general a la que llegó Euler para que veamos la inconmensurabilidad de este genio de las matemáticas del que en su día François Jean Dominique Arago (1786-1853) dijo:

"Calculaba sin esfuerzo aparente, como otros hombres respiran o como las águilas se sostienen en el aire"

¡Hasta aquí el problema de Basilea!

Puede que te pique la curiosidad, en caso contrario no sigas leyendo, de cómo Euler llegó a ese resultado tan sorprendente. Por eso y como colofón a esta entrada veamos una de las demostraciones de Euler al problema de Basilea de una manera somera, quizá poco rigurosa y de la que puede necesitarse del lector no experimentado un poco de atención extra. De esta manera nos podremos imaginar el esquema mental del genial matemático.
Si recordamos de bachillerato las series de Taylor con las que podíamos aproximar una función, podemos decir que:
Ahora calcularíamos los ceros, es decir dónde se anula la función, o lo que es lo mismo, los valores de x donde sen x=0.
Sabemos que esto ocurre para los infinitos valores:
Es decir, para los valores de x:
Si suponemos, como suele hacerse, que esta serie es un polinomio y aplicando el célebre Teorema Fundamental del Álgebra, el polinomio es equivalente a un producto de monomios del tipo (x-a) donde a son los ceros de la función:
En este caso K será una constante numérica que podrá calcularse para cada caso concreto.
Recordando que:

Podemos, por tanto reescribir la parte derecha de la ecuación anterior de la manera:
Esto podemos ponerlo de otra manera para verlo toda más claro:
Donde:
Como sabemos que sen 0 = 0, para que se cumpla la igualdad para todos los términos de la derecha, uno a uno también han de ser cero 
Ahora podemos reescribir la igualdad sen x pero de esta forma:
si dividimos por x tenemos entonces:
para x=0 tenemos una indeterminación, por lo que tendremos que calcular el límite en ese punto y que se resuelve de manera sencilla por la regla de l'Hôpital (derivando numerador y denominador):
lo que nos lleva a:
Concluyendo que el término independiente es igual a la unidad, dicho de otra manera; K=1.

Nos queda por tanto una suma infinita (izquierda) que es igual a un producto infinito (derecha). Esto no es un problema, vamos agrupando los términos de 2º grado, los de 4º, los de 6º, etc ... y los igualamos.
Para los términos de 2º grado nos queda:
Si ahora dividimos ambos miembros por :
Nos quedará lo que queríamos conseguir: