El Problema de Basilea

Grandes personajes históricos han nacido en Basilea, algunos pensarán en Roger Federer, aunque a los amantes de las matemáticas les vendrá a la mente la figura de Leonard Euler. Esta ciudad también es famosa por ser donde los conocidos hermanos Bernoulli, Jackob y Johann fueron profesores en su universidad y ellos fueron los que pusieron al tanto a Euler sobre este problema.

Los griegos ya conocían la serie armónica, que deriva de la media armónica que vimos en la entrada anterior del blog. La serie armónica es la siguiente:

Se trata de una suma infinita, pero como cada vez le vamos sumando un número más pequeño puede que no sobrepase cierto límite, es decir que tienda a una cantidad. Eso en matemáticas se dice que la serie converge a ese número.

En el caso que nos ocupa podemos decir que la serie no converge a ningún número es decir que suma infinito.

De este resultado ya se dio cuenta, en la Edad Media, el profesor Nicole Oresme (1323-1382) el cual hizo una demostración singular y bastante intuitiva. 

Podemos observar que si de la serie armónica cogemos los dos primeros términos, señalados en rojo, su suma es superior a 1, por lo que lógicamente será superior a 1/2. Lo mismo ocurre si cogemos los dos siguientes, en azul, su suma es superior a 1/2. Con los cuatro siguientes ocurre lo mismo, señalados en verde. Lo mismo pasaría con los ocho siguientes y así sucesivamente, las sumas nunca superarían 1/2, por lo que:

Vemos que la suma de los infinitos términos de la serie, agrupados como lo hemos hecho, siempre es mayor que la suma de infinitos 1/2. La suma de infinitos 1/2 es infinito. Por lo tanto la serie no converge, su suma es infinito.

El tema quedó zanjado durante muchos años hasta que el profesor de aritmética de la Universidad de Bolonia, Pietro Mengoli (1626-1686) propuso una modificación a la serie armónica, que consistía en sumar el inverso de los cuadrados, en vez de el inverso solamente.

El hallar la suma de esta serie fue el denominado problema de Basilea propuesto por los Bernoulli y del que Leonard Euler dio buena cuenta.

Si nos fijamos esta serie tiene toda la pinta de converger, pues los denominadores al ir al cuadrado convergen de una manera muy rápida y a la suma cada vez se le añade un número más pequeño. Veámoslo más detalladamente:

Observemos que la suma cada vez se incrementa menos. Podemos ver en la tabla que se muestra a continuación:

El resultado de la suma de 1.000 términos es parecido hasta las milésimas a si sumamos 10.000 términos, lo que nos dice que la suma converge a un número entre 1,644 y 1,645. Pero eso no vale, los matemáticos necesitan saber a qué es igual esa suma de infinitos términos y por eso los Bernoulli lanzaron el reto al la comunidad científica.
El problema en su época se hizo muy popular y muchos trabajaron en ello hasta que Euler demostró que esa suma es igual a una cantidad sorprendente y que dejó a todos los sabios de época boquiabiertos.

¡Madre mía, el resultado de esta serie estaba relacionado nada más y nada menos que con 𝛑, la relación entre la circunferencia y su diámetro! ¿Qué tiene que ver una cosa con la otra? Euler además hizo varias demostraciones a este problema, y no solo eso, sino que siguió descubriendo nuevas relaciones para este tipo de series. Euler denominó a esta función 𝛇 (pronunciado: zeta) para tratarla de una manera general.

Si nos damos cuenta sólo funciona para potencias pares, y vemos que 𝛑 siempre está elevado a la misma potencia que n. Euler llegó hasta 𝛇(26) donde cada vez las fórmulas se complicaban más, por lo que su genialidad lo llevó hasta una expresión general para la función 𝛇:

En el que las B son los números de Bernoulli, que está relacionados con las sumas de potencias de números enteros positivos, pero que aquí aparecen anecdóticamente y no nos pararemos más en ellos. Se ha puesto la expresión general a la que llegó Euler para que veamos la inconmensurabilidad de este genio de las matemáticas del que en su día François Jean Dominique Arago (1786-1853) dijo:

"Calculaba sin esfuerzo aparente, como otros hombres respiran o como las águilas se sostienen en el aire"

¡Hasta aquí el problema de Basilea!

Puede que te pique la curiosidad, en caso contrario no sigas leyendo, de cómo Euler llegó a ese resultado tan sorprendente. Por eso y como colofón a esta entrada veamos una de las demostraciones de Euler al problema de Basilea de una manera somera, quizá poco rigurosa y de la que puede necesitarse del lector no experimentado un poco de atención extra. De esta manera nos podremos imaginar el esquema mental del genial matemático.
Si recordamos de bachillerato las series de Taylor con las que podíamos aproximar una función, podemos decir que:

Ahora calcularíamos los ceros, es decir dónde se anula la función, o lo que es lo mismo, los valores de x donde sen x=0.
Sabemos que esto ocurre para los infinitos valores:

Es decir, para los valores de x:

Si suponemos, como suele hacerse, que esta serie es un polinomio y aplicando el célebre Teorema Fundamental del Álgebra, el polinomio es equivalente a un producto de monomios del tipo (x-a) donde a son los ceros de la función:

En este caso K será una constante numérica que podrá calcularse para cada caso concreto.

Recordando que:

Podemos, por tanto reescribir la parte derecha de la ecuación anterior de la manera:

Esto podemos ponerlo de otra manera para verlo toda más claro:

Donde:

Como sabemos que sen 0 = 0, para que se cumpla la igualdad para todos los términos de la derecha, uno a uno también han de ser cero 

Ahora podemos reescribir la igualdad sen x pero de esta forma:

si dividimos por x tenemos entonces:

para x=0 tenemos una indeterminación, por lo que tendremos que calcular el límite en ese punto y que se resuelve de manera sencilla por la regla de l'Hôpital (derivando numerador y denominador):

lo que nos lleva a:

Concluyendo que el término independiente es igual a la unidad, dicho de otra manera; K=1.

Nos queda por tanto una suma infinita (izquierda) que es igual a un producto infinito (derecha). Esto no es un problema, vamos agrupando los términos de 2º grado, los de 4º, los de 6º, etc ... y los igualamos.

Para los términos de 2º grado nos queda:

Si ahora dividimos ambos miembros por :

Nos quedará lo que queríamos conseguir: