Notación "Big Oh" (O Grande)

 Ahora que ya conocemos, sin problema, lo que quiere decir la afirmación que hizo Riemann respecto a su famosa hipótesis, intentaremos ir un poco más allá. Con nuestros limitados conocimientos estamos intentando lidiar con matemáticas de altura, por eso de vez en cuando iremos introduciendo conceptos nuevos de una manera lo más sencilla posible.

En esta ocasión vamos a hablar de la notación denominada Big Oh. Realmente en todo lo que he leído la he visto referenciada así, en inglés, y no estaba seguro de que se emplease habitualmente su traducción al español. Pues sí, también se utiliza normalmente la denominación O Grande.

Dicen que el gran matemático húngaro Pál Turán cuando estaba a punto de morir enfermo de cáncer en 1976, según su esposa, las últimas palabras que pronunció fueron: "O Grande de uno.." ¡Qué gran admiración produjo esto en el mundo de las matemáticas! ¡Ese sí que era un matemático de raza, haciendo teoría de números hasta su último suspiro!

Pál Turán

Según se dice O Grande entró en el mundo de las matemáticas de la mano del famoso Edmund Landau y su libro "Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen" cuya traducción sería algo así como "Manual de enseñanza sobre la distribución de los números primos". A cualquier matemático que preguntes te dirá que esto es así, pero quien realmente introdujo esta anotación fue Paul Bachmann en su tratado "Die Analytische Zahlentheorie" es decir "Teoría Analítica de Números". Al César lo que es del César. Ahora vamos a ver qué es eso de O Grande.

Si recordáis del bachiller, una asíntota era una recta a la que la función en su camino hacia infinito se iba acercando cada vez más a ella sin llegarla a tocar nunca, es decir en el infinito. Por ejemplo:

En este caso la función tiene dos asíntotas una es en la línea (discontinua) y=1 y otra en la línea (discontinua) y=-1. Podemos ver que la función conforme crece (x cada vez es mayor) tiende a tocar la línea y=1, pero nunca lo conseguirá, cada vez estará más cerca pero sin alcanzarla. Se dice que la alcanzará en infinito. Si la función en rosa es f(x) podríamos poner con total tranquilidad f(∞)=1. Según el dibujo también es cierto que f(-∞)=-1.

Puede decirse que las asíntotas confinan a la función dentro de unos límites y de ahí no sale. En el ejemplo la función (linea de color rosa) queda confinada entre 1 y -1.

¿Qué pasaría si quien confinara a la función, en vez de ser unas rectas (asíntotas) fuera otra función? Pues que eso sería O Grande.

Si queremos hacer una definición algo más precisa y elegante podemos decir que se trata de una función que sirve de cota superior asintótica a otra función cuando el argumento tiende a infinito.

Con este dibujo lo vamos a ver más claro:

Aquí vemos que f(x) es O Grande de la función g(x). Es decir que conforme x se hace cada vez más grande, tiende a infinito, f(x) siempre es menor que g(x). Esto se expresaría como f(x)= 𝓞(g(x))

Pero el dibujo nos revela algunas propiedades de esta notación.

Aquí se ha puesto c (una constante) porque en realidad el crecimiento de g(x) será más rápido que el de f(x) para cualquier número c por el que multipliquemos g(x), ya que al hablar de crecimiento estamos hablando de derivada y las constantes no la afectan. Por lo tanto si no nos queremos liar demasiado en estas definiciones, podemos suponer que c=1.

También es importante notar que si g(x) confina a f(x), -g(x) también lo hace, por lo tanto f(x) queda confinada por encima y por debajo como le pasaba a la función de color rosa de la gráfica anterior. Esto se expresa matemáticamente mediante el "valor absoluto".

Para que f(x)= 𝓞(g(x)) sea cierto no es necesario que  ocurra para el valor de x desde -∞ hasta + ∞ (como ocurre con la función de color rosa), es suficiente con que ocurra a partir de un determinado valor, en nuestro ejemplo Xo. Para valores menores que Xo, nos da igual lo que pase.

De una manera algo más formal podemos poner todo esto:

Sabiendo ya qué es O Grande, estamos en condiciones de meternos un poco más en las procelosas aguas del análisis numérico que nos esperan por delante y bucear todavía más en la Hipótesis de Riemann.