El Problema de Basilea

Grandes personajes históricos han nacido en Basilea, algunos pensarán en Roger Federer, aunque a los amantes de las matemáticas les vendrá a la mente la figura de Leonard Euler. Esta ciudad también es famosa por ser donde los conocidos hermanos Bernoulli, Jackob y Johann fueron profesores en su universidad y ellos fueron los que pusieron al tanto a Euler sobre este problema.

Los griegos ya conocían la serie armónica, que deriva de la media armónica que vimos en la entrada anterior del blog. La serie armónica es la siguiente:

Se trata de una suma infinita, pero como cada vez le vamos sumando un número más pequeño puede que no sobrepase cierto límite, es decir que tienda a una cantidad. Eso en matemáticas se dice que la serie converge a ese número.

En el caso que nos ocupa podemos decir que la serie no converge a ningún número es decir que suma infinito.

De este resultado ya se dio cuenta, en la Edad Media, el profesor Nicole Oresme (1323-1382) el cual hizo una demostración singular y bastante intuitiva. 

Podemos observar que si de la serie armónica cogemos los dos primeros términos, señalados en rojo, su suma es superior a 1, por lo que lógicamente será superior a 1/2. Lo mismo ocurre si cogemos los dos siguientes, en azul, su suma es superior a 1/2. Con los cuatro siguientes ocurre lo mismo, señalados en verde. Lo mismo pasaría con los ocho siguientes y así sucesivamente, las sumas nunca superarían 1/2, por lo que:

Vemos que la suma de los infinitos términos de la serie, agrupados como lo hemos hecho, siempre es mayor que la suma de infinitos 1/2. La suma de infinitos 1/2 es infinito. Por lo tanto la serie no converge, su suma es infinito.

El tema quedó zanjado durante muchos años hasta que el profesor de aritmética de la Universidad de Bolonia, Pietro Mengoli (1626-1686) propuso una modificación a la serie armónica, que consistía en sumar el inverso de los cuadrados, en vez de el inverso solamente.

El hallar la suma de esta serie fue el denominado problema de Basilea propuesto por los Bernoulli y del que Leonard Euler dio buena cuenta.

Si nos fijamos esta serie tiene toda la pinta de converger, pues los denominadores al ir al cuadrado convergen de una manera muy rápida y a la suma cada vez se le añade un número más pequeño. Veámoslo más detalladamente:

Observemos que la suma cada vez se incrementa menos. Podemos ver en la tabla que se muestra a continuación:

El resultado de la suma de 1.000 términos es parecido hasta las milésimas a si sumamos 10.000 términos, lo que nos dice que la suma converge a un número entre 1,644 y 1,645. Pero eso no vale, los matemáticos necesitan saber a qué es igual esa suma de infinitos términos y por eso los Bernoulli lanzaron el reto al la comunidad científica.
El problema en su época se hizo muy popular y muchos trabajaron en ello hasta que Euler demostró que esa suma es igual a una cantidad sorprendente y que dejó a todos los sabios de época boquiabiertos.

¡Madre mía, el resultado de esta serie estaba relacionado nada más y nada menos que con 𝛑, la relación entre la circunferencia y su diámetro! ¿Qué tiene que ver una cosa con la otra? Euler además hizo varias demostraciones a este problema, y no solo eso, sino que siguió descubriendo nuevas relaciones para este tipo de series. Euler denominó a esta función 𝛇 (pronunciado: zeta) para tratarla de una manera general.

Si nos damos cuenta sólo funciona para potencias pares, y vemos que 𝛑 siempre está elevado a la misma potencia que n. Euler llegó hasta 𝛇(26) donde cada vez las fórmulas se complicaban más, por lo que su genialidad lo llevó hasta una expresión general para la función 𝛇:

En el que las B son los números de Bernoulli, que está relacionados con las sumas de potencias de números enteros positivos, pero que aquí aparecen anecdóticamente y no nos pararemos más en ellos. Se ha puesto la expresión general a la que llegó Euler para que veamos la inconmensurabilidad de este genio de las matemáticas del que en su día François Jean Dominique Arago (1786-1853) dijo:

"Calculaba sin esfuerzo aparente, como otros hombres respiran o como las águilas se sostienen en el aire"

¡Hasta aquí el problema de Basilea!

Puede que te pique la curiosidad, en caso contrario no sigas leyendo, de cómo Euler llegó a ese resultado tan sorprendente. Por eso y como colofón a esta entrada veamos una de las demostraciones de Euler al problema de Basilea de una manera somera, quizá poco rigurosa y de la que puede necesitarse del lector no experimentado un poco de atención extra. De esta manera nos podremos imaginar el esquema mental del genial matemático.
Si recordamos de bachillerato las series de Taylor con las que podíamos aproximar una función, podemos decir que:

Ahora calcularíamos los ceros, es decir dónde se anula la función, o lo que es lo mismo, los valores de x donde sen x=0.
Sabemos que esto ocurre para los infinitos valores:

Es decir, para los valores de x:

Si suponemos, como suele hacerse, que esta serie es un polinomio y aplicando el célebre Teorema Fundamental del Álgebra, el polinomio es equivalente a un producto de monomios del tipo (x-a) donde a son los ceros de la función:

En este caso K será una constante numérica que podrá calcularse para cada caso concreto.

Recordando que:

Podemos, por tanto reescribir la parte derecha de la ecuación anterior de la manera:

Esto podemos ponerlo de otra manera para verlo toda más claro:

Donde:

Como sabemos que sen 0 = 0, para que se cumpla la igualdad para todos los términos de la derecha, uno a uno también han de ser cero 

Ahora podemos reescribir la igualdad sen x pero de esta forma:

si dividimos por x tenemos entonces:

para x=0 tenemos una indeterminación, por lo que tendremos que calcular el límite en ese punto y que se resuelve de manera sencilla por la regla de l'Hôpital (derivando numerador y denominador):

lo que nos lleva a:

Concluyendo que el término independiente es igual a la unidad, dicho de otra manera; K=1.

Nos queda por tanto una suma infinita (izquierda) que es igual a un producto infinito (derecha). Esto no es un problema, vamos agrupando los términos de 2º grado, los de 4º, los de 6º, etc ... y los igualamos.

Para los términos de 2º grado nos queda:

Si ahora dividimos ambos miembros por :

Nos quedará lo que queríamos conseguir:

Series y medias.

Para seguir avanzando veamos lo que suele denominarse serie en este mundillo.

Existe una historia, que no sé si será cierta o no, y que habla a cerca de cómo el más grande matemático de todos los tiempos Carl Friederich Gauss, con nueve años de edad, dejó anonadado a su maestro y posterior mentor, el señor Büttner. Aquel día el profesor quería dedicar un tiempo para hacer alguna otra tarea que le apremiaba y le dijo a sus alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100, con la seguridad de que eso les llevaría algún tiempo y lo dejarían un rato tranquilo. Cuál fue la sorpresa de aquel maestro cuando en poco más de un minuto el joven Gauss dejó encima de la mesa su pizarrilla con el ejercicio resuelto y además correctamente.

Dicen que aquel prodigio de niño enseguida vio que si sumamos el primer número,  1 y el último 100 nos da 101. Si sumamos el segundo número 2 y el penúltimo 99 nos da lo mismo 101, y así con todos. Es decir:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 =?

Lo que Gauss finalmente hizo fue:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 99 = 101

...

50 + 51 = 101

Vemos que al final todo se reduce a sumar 50 veces 101, o lo que es lo mismo, multiplicar 50x101 que nos da 5050. Esta genial visión nos permite deducir fácilmente la fórmula de la suma de una suma finita parecida a esta.

Si a cada término de la serie lo llamamos de una manera, entonces:

La fórmula para sumar este tipo de series sería:

Teniendo entonces claro lo que es una serie, es decir la suma de una sucesión de números, Leonard Euler en el siglo XVIII inventó una anotación específica para estar y así poder escribirlo todo de una manera más compacta y rápida. Para nuestro caso:

Vemos que para representar la serie se utiliza la letra griega sigma mayúscula (que es equivalente a nuestra "S" y que se dice que proviene de la palabra suma), poniendo en la parte inferior donde empieza la serie y en la superior donde acaba; n va recorriendo todos los valores entre 1 y 100. Con un par de ejemplos lo veremos más claro:

En la primera, estamos sumamos todas las potencias del número dos empezando en 1 y terminado en 25 (vemos que n toma todos los valores entre 1 y 25). En el segundo caso estamos sumando todas las fracciones de 1 partido por un número entero empezando por 2 y llegando hasta el infinito.

¡Podemos sumar infinitos números! Algunas veces sí y otras no; bueno seamos más rigurosos, nunca podemos sumar infinitos números porque tardaríamos un tiempo infinito, pero lo que sí podemos saber, en algunas ocasiones, es el resultado de la suma. Si tenemos paciencia entenderemos esto de forma clara.

Vamos a ver ahora lo que son las medias de sucesiones de números.

Los antiguos griegos ya definieron varios tipos de medias, dependiendo del tipo uso que quisieran dar a los datos:

Observamos que la media aritmética es la suma de elementos, dividido por la cantidad de elementos sumados. La media geométrica es la raíz del producto de elementos. En este caso es una raíz cúbica porque tenemos 3 elementos, si hubiéramos tenido dos hubiera sido una raíz cuadrada.

La media armónica si nos fijamos es la inversa de la media de la suma de los inversos de los elementos. Pongamos las mismas fórmulas pero de manera genérica, donde n es el número de elementos del que queremos calcular la media:

Una media aritmética todos sabemos lo que es y es la que más se utiliza generalmente y no necesita más explicación. Si yo me como dos pollos, tú ninguno y hacemos la media, cada uno se ha comido un pollo estadísticamente, aunque tú ni lo hayas olido. Por eso se dice muchas veces que existen verdades, mentiras y estadísticas pues estas pueden manipularse o interpretarse en el sentido que queramos.

La media geométrica es más difícil de ver y suele utilizarse para hacer media de elementos que están relacionados entre si por el producto (directamente proporcionales). El ejemplo más típico es el interés de los depósitos o préstamos financieros.

Si depositamos 10000€ en un banco y el primer año nos dan el 3%, el segundo año el 5% y el tercer año el 7%. ¿Qué media de interés hemos tenido todo ese tiempo? ¿Si en esos tres años no vamos a retirar el dinero le diríamos al banco que nos aplique la media del interés en vez de calcularlo año a año?

Después de tener un año el dinero en depósito nuestro capital inicial de 10000€ se convierte en 10300€, el segundo año ya asciende a 10815€ y el tercero a 11572,05€.

El cálculo de los 3 años es equivalente a este otro, si lo queremos hacer de una manera más rápida:

Volviendo a la pregunta, ¿qué interés medio hemos tenido esos tres años? Si aplicamos la media aritmética:

Si aplicamos el interés medio a los tres últimos años nos sale:

Vemos que salimos ganando, porque al final de los tres años obtenemos 4,2€ de más. Le diremos entonces al banco que no vamos a sacar el dinero y que cuando lo retiremos nos haga los cálculos del interés con la media de todos los años. ¡Pero los banqueros no son tontos! No se han hecho ricos por casualidad. Estos nos dirán que sí, que nos aplican la media, pero la geométrica que para este tipo de operaciones con productos es más correcta.

Hagamos la media geométrica a ver qué nos sale:

Podemos observar que es parecida a la media aritmética, que sería 1,05. Si ahora utilizamos la fórmula para calcular el capital al final de los tres años con la media geométrica obtenemos:

Que es exactamente el mismo valor que si calculamos el capital año a año.

Por lo tanto, si las cantidades de las que queremos calcular la media proceden de datos similares que admiten la suma directa, utilizaremos la media aritmética; pero si los datos proceden de operaciones más complicadas que llevan implícita la multiplicación utilizaremos la media geométrica.

¿Pero qué ocurre si la relación entre las cantidades es inversa? Pues entonces utilizaremos la media armónica.

Imaginemos que queremos calcular la media de velocidades de distintos vehículos en un gran premio, de fórmula 1 por ejemplo, en el que la distancia que recorren todos es idéntica. Sabemos que la velocidad es el espacio partido por el tiempo:

Es decir la velocidad media de todos los coches del gran premio es igual a la distancia media recorrida por cada uno de ellos dividido por el tiempo medio recorrido por cada uno de ellos. La fórmula ahora podemos ponerla así:

Donde las rayitas encima de cada letra significa que calculamos su media. Vemos que la distancia media es igual a la distancia del circuito. Eso es lógico la media de muchos números iguales es ese mismo número (la media de 5, 5, 5 y 5 es 5), la media del tiempo en cambio no. Esta será el tiempo que tarda cada uno de los coches dividido por el número total de coches, cada coche tarda un tiempo diferente, el ganador, evidentemente será el que menos tiempo tarde.

Si hacemos algunas manipulaciones de quebrados con la expresión anterior nos queda que:

Pero como queremos calcular la velocidad media a partir de la velocidad de cada uno de los coches, haremos otras manipulaciones sabiendo que que el tiempo es igual a la distancia partido por la velocidad:

Y vemos que es la fórmula de la media armónica. Si lo ponemos de una manera más compacta, al estilo matemático actual, tendríamos la expresión:

¡Ahora estamos preparados para conocer el problema de Basilea!

Algo que trajo de cabeza los matemáticos varios siglos.

Lo dejamos para la siguiente entrada en el blog, si os parece

La función matemática, ¿con complejos?

Los matemáticos habían estado trabajando con números y letras (algebra) durante siglos pero no vislumbraron en el horizonte el concepto de función hasta que entró en sus vidas el cálculo diferencial de la mano de Newton y Leibniz. Fue este último quien más avanzó en el desarrollo de este concepto creando expresiones como variable o función. No obstante la moderna expresión f(x) se cree que fue utilizada por primera vez por Clairet y por Euler. Pero fue Lejeune Dirichlet quien introdujo el moderno concepto de función, es decir, "Una correspondencia entre dos conjuntos de números que asocia a todo número del conjunto primero un único del segundo"

En este caso x sería la variable independiente, la que en teoría puede tomar cualquier valor e y la dependiente, es decir no puede tomar cualquier valor, sino el que le marque la función. Veamos un ejemplo con y=x+4. Como los valores de y dependen de los que escojamos para x, por eso se le llama variable dependiente.

También se suele esquematizar una función como una máquina en la que entra un número y sale otro.
En este caso, los valores de x entran por un extremo y por el otro salen los valores de y o como se han llamado aquí f(x):

Esta es una forma de ver las funciones, pero en el colegio nos enseñaron otra mucho más útil y práctica:

Vemos que si en la máquina introducimos x=0, esta nos devuelve y=-2, por lo tanto la gráfica (línea roja) la podemos asimilar a la máquina en la que introducimos unos valores x y nos devuelve unos valores y.
Generalmente siempre nos paramos aquí, en hacer la gráfica y ver lo bonita que queda o lo que nos ha costado dibujarla, pero lo que realmente está sucediendo es que esa función f(x) lo que hace es transformar la recta real en otra recta a una escala diferente, a lo mejor lo vemos mejor así (para esta misma función):

Los puntos suspensivos del dibujo indican que la recta se extiende hasta el infinito.

Si observamos atentamente, la nueva recta creada empieza empieza en -2 (porque y nunca vale  menos de -2) y se prolonga hacia infinito, estando los valores más separados, como si estuvieran escalados, aunque esta última afirmación podría ser un poco conflictiva si pensamos que existen infinitos reales, pero para nuestro caso, altamente intuitivo, sirve, porque nos permite verlo todo más claro.

En resumen, f(x) nos ha convertido la recta superior que se extendía desde -∞ hasta +∞ en una recta escalada (con los números más separados) y que se extiende desde -2 hasta +∞.

Desde esta nueva perspectiva puede que sea más sencillo pensar ahora en las funciones de variable compleja.

Como vimos en la entrada anterior, un número complejo z está formado por una parte real y otra imaginaria z=x+iy, donde z se representa como un punto en un plano con coordenadas x e y, que para los complejos denominamos Re (parte real x) y Im (parte imaginaria y), por lo tanto una función de un número complejo f(z) en vez de transformar una recta en otra como hemos visto, lo que hace es transformar un plano en otro plano.

Como vemos en la figura, la función f mueve el punto de la posición z a la posición w, por lo transformaría una figura en otra. En este caso se hace muy difícil dibujar la gráfica que define a f(z) pues sería algo así como una figura en tres dimensiones que uniera todos los puntos de la figura A (naranja) con los puntos de la figura B (azul). A lo mejor con un ejemplo más concreto podemos entenderlo.

Imaginemos que nuestra función f(z) es elevar al cuadrado un número complejo:

Si ahora representamos como se transforma una rejilla (el equivalente a la figura A (naranja) de la ilustración anterior) en otra figura al aplicarle la función f(z) de elevar al cuadrado un número complejo, comprenderemos que no podemos representar a la vez en un mismo plano el argumento (variable independiente) y el valor de la función, pues el lio de lineas sería monumental.

La figura de la izquierda representa los puntos que vamos a introducir en la función f(z) y la figura de la derecha la salida, es decir tras elevar todos los puntos al cuadrado. Podemos observar que lo que hace esta función es transformar cuadrados de lados rectos en cuadrados de lados parabólicos.

Resumiendo:
En esta entrada hemos visto lo que es una función f(x) cuando actúa en la recta de los números reales o una función f(z) cuando actúa sobre el plano complejo. También se ha explicado que la salida de f(x) es una recta distinta a la de entrada y que f(z) hace algo igual pero respecto al plano. Es muy importante, por tanto, entender la diferencia entre ambos tipos de funciones pues f(x) actúa en una dimensión y f(z) en dos dimensiones.