De pequeños nos enseñaron que los números primos son aquellos que sólo pueden dividirse por 1 (el 1 divide a todos los números que existen) y por ellos mismos.
Pero hay mucho más.
Otra manera de verlo es como si fueran piezas únicas de un puzzle que casan perfectamente para formar otros números no primos:
Estas tres piezas formarían el 42:
O en el otro ejemplo:
Los más famosos son los que están entre el 1 y el 100 y aparecen sombreados en la tabla siguiente:
Pero hay mucho más.
La ciencia química se basa en unos elementos que componen todo lo que nos rodea, todo, absolutamente todo, está compuesto de ellos y que no son demasiados. Los químicos lograron reunirlos y ordenarlos en lo que conocemos como tabla periódica de los elementos.
La clasificación, el orden y la normalización hacen que la ciencia y la teconología avancen enormemente, lo que repercute positivamente en nuestra sociedad y por ello en nuestras vidas.
Por ejemplo el agua H2O, está formada por dos átomos de hidrógeno (H) y uno de oxígeno. Así pasa con todo, y todas las sustancias que conocemos, por complejas que sean, pueden descomponerse en los elementos de la tabla periódica.
Los números primos son exactamente lo mismo que los elementos de esa tabla. Multiplicando los números primos, podemos formar todos los demás, por ello se les conoce como los átomos de las matemáticas ya que a partir de ellos podemos generar cualquier número natural. Es lo que en el colegio llamábamos factorizar un número. Un ejemplo:
Por ejemplo el agua H2O, está formada por dos átomos de hidrógeno (H) y uno de oxígeno. Así pasa con todo, y todas las sustancias que conocemos, por complejas que sean, pueden descomponerse en los elementos de la tabla periódica.
Los números primos son exactamente lo mismo que los elementos de esa tabla. Multiplicando los números primos, podemos formar todos los demás, por ello se les conoce como los átomos de las matemáticas ya que a partir de ellos podemos generar cualquier número natural. Es lo que en el colegio llamábamos factorizar un número. Un ejemplo:
2 x 3 x 7 = 42
13 x 47 = 611
Otra manera de verlo es como si fueran piezas únicas de un puzzle que casan perfectamente para formar otros números no primos:
Estas tres piezas formarían el 42:
O en el otro ejemplo:
Los más famosos son los que están entre el 1 y el 100 y aparecen sombreados en la tabla siguiente:
Podemos observar que estos números parecen estar distribuidos de manera aleatoria sin ningún orden o concierto. Desde siempre los matemáticos han intentado buscar patrones entre ellos para ver si de alguna manera pudiera encontrarse una fórmula generadora de todos los primos existentes.
¿Como saber cuando un número es primo? La única manera es factorizarlo, es decir, tenemos que ver si existe un número menor que él que lo divida exactamente, dando de resto cero. El resultado se dividirá de nuevo y así sucesivamente hasta que el cociente final sea uno. Por ejemplo:
¡Los primos no pueden factorizarse, evidentemente!
Si nos fijamos entre los primeros 10 números, existen 4 primos (el 2, el 3, el 5 y el 7). Entre los primeros 100 números, como vemos en la tabla anterior hay 25 primos. Entre los 1000 primeros números existen 168, ... Vemos que conforme aumentamos las cifras la densidad de primos va disminuyendo.
¿Puede llegar un momento en el que haya tan pocos primos que no quede ninguno, es decir una cifra tan alta que todos los números a partir de ella puedan factorizarse? Euclides demostró que no, en otras palabras, la cantidad de números primos es infinita.
La tabla nos indica que, por ejemplo, en los 100 primeros números el 25% de ellos son primos, pero que en el primer millón de números, sólo el 7,8% son primos. El genial matemático Gauss fascinado por esta proporción ideó una fórmula que se aproxima a la densidad real. En nuestro caso para el primer millón la densidad real, como hemos dicho, es de 7,8% y con su fórmula sale 7,3%. Esto es lo que se conoce como el Teorema de los Números Primos.
La fórmula nos dice que el número de primos menor que un número cualquiera (aquí llamamos N) es aproximadamente (eso es lo que significa el símbolo ~) igual a N dividido por el logaritmo neperiano de N. La letra "pi" en este caso no tiene nada que ver con la relación entre el radio y longitud de la circunferencia, es la notación que en su día empleó Gauss para designar la función.
Por lo tanto, como conclusiones inmediatas podemos decir que:
El Santo Grial de esta parte de las matemáticas sería el descubrir una fórmula que pudiera generar todos los números primos, y sobre la que gira mi novela "El Enigma Sumergido". Todos los grandes matemáticos han soñado con encontrarla, si es que existe. Hasta ahora nadie lo ha logrado, puede que el que más cerca estuvo fue Leonhard Euler en el siglo XVIII con su fórmula:
¿Como saber cuando un número es primo? La única manera es factorizarlo, es decir, tenemos que ver si existe un número menor que él que lo divida exactamente, dando de resto cero. El resultado se dividirá de nuevo y así sucesivamente hasta que el cociente final sea uno. Por ejemplo:
Si nos fijamos entre los primeros 10 números, existen 4 primos (el 2, el 3, el 5 y el 7). Entre los primeros 100 números, como vemos en la tabla anterior hay 25 primos. Entre los 1000 primeros números existen 168, ... Vemos que conforme aumentamos las cifras la densidad de primos va disminuyendo.
¿Puede llegar un momento en el que haya tan pocos primos que no quede ninguno, es decir una cifra tan alta que todos los números a partir de ella puedan factorizarse? Euclides demostró que no, en otras palabras, la cantidad de números primos es infinita.
La tabla nos indica que, por ejemplo, en los 100 primeros números el 25% de ellos son primos, pero que en el primer millón de números, sólo el 7,8% son primos. El genial matemático Gauss fascinado por esta proporción ideó una fórmula que se aproxima a la densidad real. En nuestro caso para el primer millón la densidad real, como hemos dicho, es de 7,8% y con su fórmula sale 7,3%. Esto es lo que se conoce como el Teorema de los Números Primos.
Por lo tanto, como conclusiones inmediatas podemos decir que:
- La probabilidad de que un número N sea primo es aproximadamente: N/ln N.
- El N-ésimo primo está en el entorno del número: N⋅ln N.
- El primer primo es el 2. p(1) = 2.
- El segundo primo es el 3. p(2) = 3.
- El tercer primo es el 5. p(3) = 5.
- El cuarto primo es el 7. p(4) = 7.
- El quinto primo es el 11. p(5) = 11.
- ...
- El N-ésimo primo: p(N) ~ N⋅ln N (está cerca de este número, pero no sabemos cuál es)
El Santo Grial de esta parte de las matemáticas sería el descubrir una fórmula que pudiera generar todos los números primos, y sobre la que gira mi novela "El Enigma Sumergido". Todos los grandes matemáticos han soñado con encontrarla, si es que existe. Hasta ahora nadie lo ha logrado, puede que el que más cerca estuvo fue Leonhard Euler en el siglo XVIII con su fórmula:
en la que si n = 1, 2, 3, .. vamos obteniendo números primos. ¡Lastima que a partir de n=40 la fórmula empiece a fallar!
Porque cuando n=40 obtenemos 1681, que no es primo ya que es el resultado de la multiplicación de otros números: 41x41=1681.
Existen numerosas expresiones y funciones en relación a los números primos con las que se intenta acotarlos, catalogarlos, como la función de Mertens, o la expresión de Mills, pero todas ellas comienzan: "Si la hipótesis de Riemann es cierta..."
¡Ahí la importancia de demostrar dicha hipótesis para las matemáticas!
Pero, ¿tienen los primos alguna aplicación importante en nuestras vidas?
Me agrada decir que sí, y es en relación con la codificación de mensajes en las redes de computadoras y muy especialmente en internet. Cuando hacemos alguna transacción en la que utilizamos datos confidenciales, nuestro navegador utiliza un algoritmo basado en la propiedad fundamental de los números primos, es decir su imposibilidad de ser factorizados, para codificar los datos. Esto venimos utilizándolo a diario cuando compramos o hacemos alguna transacción bancaria por internet. Una pista para saber si nuestro ordenador está utilizando en ese momento un algoritmo de encriptado es ver si en la barra de direcciones de nuestro navegador aparece https:// o el símbolo de un candado cerrado. En otra entrada del blog explicaré cómo funciona esto.
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