¿Son los números complejos tan complejos?

Podemos pensar que los matemáticos no estuvieron muy afortunados al darle nombre a este tipo de números, a no ser que quisieran meter miedo a los estudiantes o a los atrevidos que pretendieran aventurarse por las procelosas y agitadas aguas de las matemáticas.

El ser humano siempre ha tratado con los números naturales (N), es decir los que se vienen usando desde que nuestros ancestros aprendieron a contar: 1 naranja, 2 manzanas, 3 piedras, etc... Son conceptos claros e inequívocos, nadie puede comerse -1 naranja.

Con la contabilidad y otras cantidades abstractas aparecen los números negativos que junto con los naturales y el cero formarán lo que se denominan números enteros (Z), se les denomina con una Z del vocablo alemán "zahalen" que significa números. El manejo de estos números lo tenemos muy claro; cuando, por ejemplo, en el banco nos dicen que tenemos 100€ en cuenta, sabemos que si vamos a la caja y nos identificamos, nos darán nuestros 100€ si los solicitamos. No hace falta decir que si el banco nos dice que en cuenta tenemos -100€, significa que nosotros les debemos ese dinero y que si vamos a la ventanilla, por muy insistentes que seamos, no nos van a dar un € y encima nos reclamarán lo que debemos.

Creo que también tenemos claro el concepto de número racional (Q), que no es más que el resultado de dividir un número respecto a otro, por lo que normalmente este tipo de números tendrá un número finito de decimales, ejemplo: 1/2=0,5. En este caso 1 y 2 son enteros y 0,5 racional. En realidad los tres son racionales porque estos incluyen a los enteros. Si expresamos el entero 2 como racional será 2,0. Entonces habréis intuido que los Z incluyen a los N. Esta relación matemáticamente se expresa como

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

¡Ah se me olvidaba, los racionales se representan con la letra Q, porque proviene de la palabra  latina "quotients", que significa cociente.

Pero la cosa no acaba aquí, Pitágoras al desarrollar su famosa fórmula para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, se dio cuenta que en un triángulo en el que sus catetos valen la unidad, la hipotenusa valdrá √2 y que este número tenía infinitos decimales, por lo que no era un Q, fue entonces cuando se dieron cuenta de otra categoría de números que más adelante llamaron irracionales (I). Este hecho logró infundirles tanto miedo que intentaron mantenerlo en secreto, pues el mundo ya no era perfecto, ya no era "racional".

Para poner un poco de orden en este lío de tipos de número se dijo que todos los números racionales e irracionales formaran parte de otro grupo más amplio que llamaron números reales R. Y esto se expresa:

ℚ ∪ 𝕀  = ℝ

Los matemáticos pensaban que lo tenían todo controlado, pero nada más lejos de la realidad, Había ecuaciones (polinomios) que no podían solucionarse, aunque el Teorema Fundamental del Algebra decía que tenían que tener solución. En este caso puede que el huevo fuera antes que la gallina y que el Teorema fuera posterior al descubrimiento de los números complejos, pero mucho antes se intuía que ese tipo de ecuaciones debían poder solucionarse.

El ejemplo más sencillo es la ecuación de segundo grado y la fórmula para solucionarla:

Si hacemos a=1, b=3 y c=-4, tenemos entonces:

Vemos que las soluciones son 1 y -4. Como es una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, pero ¿qué pasa con esta ecuación?

En este caso las soluciones son la raíz cuadrada positiva y negativa de menos uno. Pero sabemos que no puede extraerse la raíz cuadrada de un número negativo, o lo que es lo mismo, un número al cuadrado nunca puede ser negativo. Por ejemplo: 2 x 2 = 4, pero (-2) x (-2) = 4 también. Los matemáticos se encontraron ante un gran dilema y la solución que dieron fue llamar a ese número i, de imaginario:

Ahora ya tenía solución toda la familia de polinomios en los que aparecían ese tipo de raíces cuadradas negativas, como por ejemplo:

Por lo tanto la solución tiene dos partes una real "1" y otra imaginaria "± 1⋅i", y es lo que llamamos un número complejo, y que tienen la forma a+bi. Pero, ¿cómo interpretar este nuevo tipo de números?

Fue un genio francés Jean Robert Argand a quien se le ocurrió darle una interpretación geométrica de la forma:

En el eje horizontal representamos la parte real y en el vertical la imaginaria (i). Ahora podía operarse con estos números como vectores en el plano, pero siempre teniendo en cuenta el significado más profundo de "i", ya que cada vez que un número complejo se multiplica por "i" supone un giro de 90º del punto en cuestión en el plano, por lo tanto:

Vemos que las potencias de i van rotando entre los valores -1 (eje Real valores negativos), -i (eje Imaginario valores negativos), 1 (eje Real valores positivos), i (eje Imaginario valores positivos), y así sucesivamente volviendo a tomar los mismos valores rotativamente; por ello si multiplicamos a+bi por i lo que estaremos haciendo es rotar ese valor 90º:

Si lo representamos gráficamente, vemos que la unión de los puntos con el origen (color naranja) forman un ángulo recto (90º):

Podemos comprobar que los números complejos soportan las operaciones de los reales, es decir  pueden sumarse, restarse, multiplicarse, exponenciarse ..., aunque las operaciones han de realizarse con un cuidado especial de no mezclar la parte real e imaginaria.

Con el paso del tiempo y la labor ímproba de investigación de muchos matemáticos, se le fue dado "cuerpo" a este tipo de números y evolucionando a una rama que se denominó "variable compleja" ya que podían utilizarse para resolver problemas físicos de gran complejidad con pocos cálculos, debido a que estos números llevan implícito un ángulo al que se llamó fase.

Podemos decir que hoy en día estos números son indispensables para afrontar los retos de la ingeniería o de la física.

El genial matemático Leonard Euler encontró la relación para expresar estos números en forma de exponentes del número e , lo que los relacionó totalmente con los procesos de la naturaleza. Gracias a él conocimos la que dicen la más bella ecuación de todos los tiempos porque relaciona los principales números de la matemática:

En este caso el ángulo de fase (α), tiene un valor de π , es decir 180º,  y produce esa relación tan especial. El modo en que se llegó a esta hermosa relación es bastante curioso:

Hacia 1702 Johann Bernoulli en su investigación sobre la integración de funciones polinómicas llegó a la conclusión de que podían resolverse siempre que tuvieran raíces reales, pero como sabemos hay muchas que tienen raíces complejas. Leibniz dijo que las soluciones complejas también eran correctas aunque eso supusiera calcular logaritmos de números complejos y negativos. Pero, ¿Qué sentido tiene el logaritmo de un número negativo? En esta disquisición Bernoulli, para demostrar que llevaba razón, hizo la siguiente deducción a partir de la siguiente ecuación diferencial:

la integramos para resolverla y obtenemos

por esto decía Bernoulli que el logaritmo de un número negativo era un número positivo. No logró convencer a Leibniz quien dijo que la integración realizada sólo podía hacerse para números positivos, por lo que la solución hallada no era del todo correcta.
Euler vino a resolver el asunto dando la razón a Leibniz pues apuntó que Bernoulli debería haber añadido una constante a la integración, como siempre se hace cuando se resuelven integrales indefinidas

Ahora había que ver cuál era esa constante. Euler dijo que como los logaritmos de los números negativos y complejos debían tener las mismas propiedades que los de los logaritmos de los números reales y positivos podíamos hacer:

Por lo tanto podemos decir, comparando las dos ultimas expresiones, que

Para no cansarnos, a partir de este resultado Euler de una manera elegante y utilizando diversas fórmulas que involucraban números complejos llegó a la expresión que relaciona las funciones trigonométricas con la exponencial

Donde 𝜃 es la fase, es decir el ángulo que antes hemos llamado 𝛼. Si en esta ecuación hacemos 𝜃=𝜋  (180º) obtenemos la que hemos llamado antes la ecuación más bella de las matemáticas, es decir

No puedo ni imaginarme la enorme exicitación que debió sentir Euler al saber que era la primera persona en descubrir estas relaciones tan simples entre las funciones trigonométricas y la exponencial. Si tomamos logaritmos a ambos lados de la última expresión conocemos el valor de la famosa y discordante constante C de la que Bernoulli no se percató.

Vemos por tanto que los números complejos no son tan complejos como parece, pues los asociamos con una pareja de números igual que cualquier vector en el plano, lo único que hay que tener en cuenta para operar con ellos es la fase 𝜃 así como las propiedades de número i cuando se multiplica por él mismo que como hemos visto produce giros en el plano.