La función matemática, ¿con complejos?

Los matemáticos habían estado trabajando con números y letras (algebra) durante siglos pero no vislumbraron en el horizonte el concepto de función hasta que entró en sus vidas el cálculo diferencial de la mano de Newton y Leibniz. Fue este último quien más avanzó en el desarrollo de este concepto creando expresiones como variable o función. No obstante la moderna expresión f(x) se cree que fue utilizada por primera vez por Clairet y por Euler. Pero fue Lejeune Dirichlet quien introdujo el moderno concepto de función, es decir, "Una correspondencia entre dos conjuntos de números que asocia a todo número del conjunto primero un único del segundo"

En este caso x sería la variable independiente, la que en teoría puede tomar cualquier valor e y la dependiente, es decir no puede tomar cualquier valor, sino el que le marque la función. Veamos un ejemplo con y=x+4. Como los valores de y dependen de los que escojamos para x, por eso se le llama variable dependiente.

También se suele esquematizar una función como una máquina en la que entra un número y sale otro.
En este caso, los valores de x entran por un extremo y por el otro salen los valores de y o como se han llamado aquí f(x):

Esta es una forma de ver las funciones, pero en el colegio nos enseñaron otra mucho más útil y práctica:

Vemos que si en la máquina introducimos x=0, esta nos devuelve y=-2, por lo tanto la gráfica (línea roja) la podemos asimilar a la máquina en la que introducimos unos valores x y nos devuelve unos valores y.
Generalmente siempre nos paramos aquí, en hacer la gráfica y ver lo bonita que queda o lo que nos ha costado dibujarla, pero lo que realmente está sucediendo es que esa función f(x) lo que hace es transformar la recta real en otra recta a una escala diferente, a lo mejor lo vemos mejor así (para esta misma función):

Los puntos suspensivos del dibujo indican que la recta se extiende hasta el infinito.

Si observamos atentamente, la nueva recta creada empieza empieza en -2 (porque y nunca vale  menos de -2) y se prolonga hacia infinito, estando los valores más separados, como si estuvieran escalados, aunque esta última afirmación podría ser un poco conflictiva si pensamos que existen infinitos reales, pero para nuestro caso, altamente intuitivo, sirve, porque nos permite verlo todo más claro.

En resumen, f(x) nos ha convertido la recta superior que se extendía desde -∞ hasta +∞ en una recta escalada (con los números más separados) y que se extiende desde -2 hasta +∞.

Desde esta nueva perspectiva puede que sea más sencillo pensar ahora en las funciones de variable compleja.

Como vimos en la entrada anterior, un número complejo z está formado por una parte real y otra imaginaria z=x+iy, donde z se representa como un punto en un plano con coordenadas x e y, que para los complejos denominamos Re (parte real x) y Im (parte imaginaria y), por lo tanto una función de un número complejo f(z) en vez de transformar una recta en otra como hemos visto, lo que hace es transformar un plano en otro plano.

Como vemos en la figura, la función f mueve el punto de la posición z a la posición w, por lo transformaría una figura en otra. En este caso se hace muy difícil dibujar la gráfica que define a f(z) pues sería algo así como una figura en tres dimensiones que uniera todos los puntos de la figura A (naranja) con los puntos de la figura B (azul). A lo mejor con un ejemplo más concreto podemos entenderlo.

Imaginemos que nuestra función f(z) es elevar al cuadrado un número complejo:

Si ahora representamos como se transforma una rejilla (el equivalente a la figura A (naranja) de la ilustración anterior) en otra figura al aplicarle la función f(z) de elevar al cuadrado un número complejo, comprenderemos que no podemos representar a la vez en un mismo plano el argumento (variable independiente) y el valor de la función, pues el lio de lineas sería monumental.

La figura de la izquierda representa los puntos que vamos a introducir en la función f(z) y la figura de la derecha la salida, es decir tras elevar todos los puntos al cuadrado. Podemos observar que lo que hace esta función es transformar cuadrados de lados rectos en cuadrados de lados parabólicos.

Resumiendo:
En esta entrada hemos visto lo que es una función f(x) cuando actúa en la recta de los números reales o una función f(z) cuando actúa sobre el plano complejo. También se ha explicado que la salida de f(x) es una recta distinta a la de entrada y que f(z) hace algo igual pero respecto al plano. Es muy importante, por tanto, entender la diferencia entre ambos tipos de funciones pues f(x) actúa en una dimensión y f(z) en dos dimensiones.

¿Son los números complejos tan complejos?

Podemos pensar que los matemáticos no estuvieron muy afortunados al darle nombre a este tipo de números, a no ser que quisieran meter miedo a los estudiantes o a los atrevidos que pretendieran aventurarse por las procelosas y agitadas aguas de las matemáticas.

El ser humano siempre ha tratado con los números naturales (N), es decir los que se vienen usando desde que nuestros ancestros aprendieron a contar: 1 naranja, 2 manzanas, 3 piedras, etc... Son conceptos claros e inequívocos, nadie puede comerse -1 naranja.

Con la contabilidad y otras cantidades abstractas aparecen los números negativos que junto con los naturales y el cero formarán lo que se denominan números enteros (Z), se les denomina con una Z del vocablo alemán "zahalen" que significa números. El manejo de estos números lo tenemos muy claro; cuando, por ejemplo, en el banco nos dicen que tenemos 100€ en cuenta, sabemos que si vamos a la caja y nos identificamos, nos darán nuestros 100€ si los solicitamos. No hace falta decir que si el banco nos dice que en cuenta tenemos -100€, significa que nosotros les debemos ese dinero y que si vamos a la ventanilla, por muy insistentes que seamos, no nos van a dar un € y encima nos reclamarán lo que debemos.

Creo que también tenemos claro el concepto de número racional (Q), que no es más que el resultado de dividir un número respecto a otro, por lo que normalmente este tipo de números tendrá un número finito de decimales, ejemplo: 1/2=0,5. En este caso 1 y 2 son enteros y 0,5 racional. En realidad los tres son racionales porque estos incluyen a los enteros. Si expresamos el entero 2 como racional será 2,0. Entonces habréis intuido que los Z incluyen a los N. Esta relación matemáticamente se expresa como

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

¡Ah se me olvidaba, los racionales se representan con la letra Q, porque proviene de la palabra  latina "quotients", que significa cociente.

Pero la cosa no acaba aquí, Pitágoras al desarrollar su famosa fórmula para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, se dio cuenta que en un triángulo en el que sus catetos valen la unidad, la hipotenusa valdrá √2 y que este número tenía infinitos decimales, por lo que no era un Q, fue entonces cuando se dieron cuenta de otra categoría de números que más adelante llamaron irracionales (I). Este hecho logró infundirles tanto miedo que intentaron mantenerlo en secreto, pues el mundo ya no era perfecto, ya no era "racional".

Para poner un poco de orden en este lío de tipos de número se dijo que todos los números racionales e irracionales formaran parte de otro grupo más amplio que llamaron números reales R. Y esto se expresa:

ℚ ∪ 𝕀  = ℝ

Los matemáticos pensaban que lo tenían todo controlado, pero nada más lejos de la realidad, Había ecuaciones (polinomios) que no podían solucionarse, aunque el Teorema Fundamental del Algebra decía que tenían que tener solución. En este caso puede que el huevo fuera antes que la gallina y que el Teorema fuera posterior al descubrimiento de los números complejos, pero mucho antes se intuía que ese tipo de ecuaciones debían poder solucionarse.

El ejemplo más sencillo es la ecuación de segundo grado y la fórmula para solucionarla:

Si hacemos a=1, b=3 y c=-4, tenemos entonces:

Vemos que las soluciones son 1 y -4. Como es una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, pero ¿qué pasa con esta ecuación?

En este caso las soluciones son la raíz cuadrada positiva y negativa de menos uno. Pero sabemos que no puede extraerse la raíz cuadrada de un número negativo, o lo que es lo mismo, un número al cuadrado nunca puede ser negativo. Por ejemplo: 2 x 2 = 4, pero (-2) x (-2) = 4 también. Los matemáticos se encontraron ante un gran dilema y la solución que dieron fue llamar a ese número i, de imaginario:

Ahora ya tenía solución toda la familia de polinomios en los que aparecían ese tipo de raíces cuadradas negativas, como por ejemplo:

Por lo tanto la solución tiene dos partes una real "1" y otra imaginaria "± 1⋅i", y es lo que llamamos un número complejo, y que tienen la forma a+bi. Pero, ¿cómo interpretar este nuevo tipo de números?

Fue un genio francés Jean Robert Argand a quien se le ocurrió darle una interpretación geométrica de la forma:

En el eje horizontal representamos la parte real y en el vertical la imaginaria (i). Ahora podía operarse con estos números como vectores en el plano, pero siempre teniendo en cuenta el significado más profundo de "i", ya que cada vez que un número complejo se multiplica por "i" supone un giro de 90º del punto en cuestión en el plano, por lo tanto:

Vemos que las potencias de i van rotando entre los valores -1 (eje Real valores negativos), -i (eje Imaginario valores negativos), 1 (eje Real valores positivos), i (eje Imaginario valores positivos), y así sucesivamente volviendo a tomar los mismos valores rotativamente; por ello si multiplicamos a+bi por i lo que estaremos haciendo es rotar ese valor 90º:

Si lo representamos gráficamente, vemos que la unión de los puntos con el origen (color naranja) forman un ángulo recto (90º):

Podemos comprobar que los números complejos soportan las operaciones de los reales, es decir  pueden sumarse, restarse, multiplicarse, exponenciarse ..., aunque las operaciones han de realizarse con un cuidado especial de no mezclar la parte real e imaginaria.

Con el paso del tiempo y la labor ímproba de investigación de muchos matemáticos, se le fue dado "cuerpo" a este tipo de números y evolucionando a una rama que se denominó "variable compleja" ya que podían utilizarse para resolver problemas físicos de gran complejidad con pocos cálculos, debido a que estos números llevan implícito un ángulo al que se llamó fase.

Podemos decir que hoy en día estos números son indispensables para afrontar los retos de la ingeniería o de la física.

El genial matemático Leonard Euler encontró la relación para expresar estos números en forma de exponentes del número e , lo que los relacionó totalmente con los procesos de la naturaleza. Gracias a él conocimos la que dicen la más bella ecuación de todos los tiempos porque relaciona los principales números de la matemática:

En este caso el ángulo de fase (α), tiene un valor de π , es decir 180º,  y produce esa relación tan especial. El modo en que se llegó a esta hermosa relación es bastante curioso:

Hacia 1702 Johann Bernoulli en su investigación sobre la integración de funciones polinómicas llegó a la conclusión de que podían resolverse siempre que tuvieran raíces reales, pero como sabemos hay muchas que tienen raíces complejas. Leibniz dijo que las soluciones complejas también eran correctas aunque eso supusiera calcular logaritmos de números complejos y negativos. Pero, ¿Qué sentido tiene el logaritmo de un número negativo? En esta disquisición Bernoulli, para demostrar que llevaba razón, hizo la siguiente deducción a partir de la siguiente ecuación diferencial:

la integramos para resolverla y obtenemos

por esto decía Bernoulli que el logaritmo de un número negativo era un número positivo. No logró convencer a Leibniz quien dijo que la integración realizada sólo podía hacerse para números positivos, por lo que la solución hallada no era del todo correcta.
Euler vino a resolver el asunto dando la razón a Leibniz pues apuntó que Bernoulli debería haber añadido una constante a la integración, como siempre se hace cuando se resuelven integrales indefinidas

Ahora había que ver cuál era esa constante. Euler dijo que como los logaritmos de los números negativos y complejos debían tener las mismas propiedades que los de los logaritmos de los números reales y positivos podíamos hacer:

Por lo tanto podemos decir, comparando las dos ultimas expresiones, que

Para no cansarnos, a partir de este resultado Euler de una manera elegante y utilizando diversas fórmulas que involucraban números complejos llegó a la expresión que relaciona las funciones trigonométricas con la exponencial

Donde 𝜃 es la fase, es decir el ángulo que antes hemos llamado 𝛼. Si en esta ecuación hacemos 𝜃=𝜋  (180º) obtenemos la que hemos llamado antes la ecuación más bella de las matemáticas, es decir

No puedo ni imaginarme la enorme exicitación que debió sentir Euler al saber que era la primera persona en descubrir estas relaciones tan simples entre las funciones trigonométricas y la exponencial. Si tomamos logaritmos a ambos lados de la última expresión conocemos el valor de la famosa y discordante constante C de la que Bernoulli no se percató.

Vemos por tanto que los números complejos no son tan complejos como parece, pues los asociamos con una pareja de números igual que cualquier vector en el plano, lo único que hay que tener en cuenta para operar con ellos es la fase 𝜃 así como las propiedades de número i cuando se multiplica por él mismo que como hemos visto produce giros en el plano.

¿Qué son los números primos?

De pequeños nos enseñaron que los números primos son aquellos que sólo pueden dividirse por 1 (el 1 divide a todos los números que existen) y por ellos mismos.
Pero hay mucho más.

La ciencia química se basa en unos elementos que componen todo lo que nos rodea, todo, absolutamente todo, está compuesto de ellos y que no son demasiados. Los químicos lograron reunirlos y ordenarlos en lo que conocemos como tabla periódica de los elementos.

La clasificación, el orden y la normalización hacen que la ciencia y la teconología avancen enormemente, lo que repercute positivamente en nuestra sociedad y por ello en nuestras vidas.
Por ejemplo el agua H2O, está formada por dos átomos de hidrógeno (H) y uno de oxígeno. Así pasa con todo, y todas las sustancias que conocemos, por complejas que sean, pueden descomponerse en los elementos de la tabla periódica.

Los números primos son exactamente lo mismo que los elementos de esa tabla. Multiplicando los números primos, podemos formar todos los demás, por ello se les conoce como los átomos de las matemáticas ya que a partir de ellos podemos generar cualquier número natural. Es lo que en el colegio llamábamos factorizar un número. Un ejemplo:

2 x 3 x 7 = 42

13 x 47 = 611

En este caso 2, 3, 7, 13 y 47 son primos. Esta factorización es única por lo que no podemos tener distintos primos que al multiplicarlos entre sí den un el mismo número, es como si los primos conformasen el ADN de cada número haciéndolo distinto a todos los demás. Esta propiedad o singularidad como algunos la llaman es el Teorema Fundamental de la Aritmética.
Otra manera de verlo es como si fueran piezas únicas de un puzzle que casan perfectamente para formar otros números no primos:

 

 Estas tres piezas formarían el 42:

O en el otro ejemplo:

Los más famosos son los que están entre el 1 y el 100 y aparecen sombreados en la tabla siguiente:

Podemos observar que estos números parecen estar distribuidos de manera aleatoria sin ningún orden o concierto. Desde siempre los matemáticos han intentado buscar patrones entre ellos para ver si de alguna manera pudiera encontrarse una fórmula generadora de todos los primos existentes.
¿Como saber cuando un número es primo? La única manera es factorizarlo, es decir, tenemos que ver si existe un número menor que él que lo divida exactamente, dando de resto cero. El resultado se dividirá de nuevo y así sucesivamente hasta que el cociente final sea uno. Por ejemplo:

¡Los primos no pueden factorizarse, evidentemente!

Si nos fijamos entre los primeros 10 números, existen 4 primos (el 2, el 3, el 5 y el 7). Entre los primeros 100 números, como vemos en la tabla anterior hay 25 primos. Entre los 1000 primeros números existen 168, ... Vemos que conforme aumentamos las cifras la densidad de primos va disminuyendo.

¿Puede llegar un momento en el que haya tan pocos primos que no quede ninguno, es decir una cifra tan alta que todos los números a partir de ella puedan factorizarse? Euclides demostró que no, en otras palabras, la cantidad de números primos es infinita.
La tabla nos indica que, por ejemplo, en los 100 primeros números el 25% de ellos son primos, pero que en el primer millón de números, sólo el 7,8% son primos. El genial matemático Gauss fascinado por esta proporción ideó una fórmula que se aproxima a la densidad real. En nuestro caso para el primer millón la densidad real, como hemos dicho, es de 7,8% y con su fórmula sale 7,3%. Esto es lo que se conoce como el Teorema de los Números Primos.

La fórmula nos dice que el número de primos menor que un número cualquiera (aquí llamamos N) es aproximadamente (eso es lo que significa el símbolo ~)  igual a N dividido por el logaritmo neperiano de N. La letra "pi" en este caso no tiene nada que ver con la relación entre el radio y longitud de la circunferencia, es la notación que en su día empleó Gauss para designar la función.
Por lo tanto, como conclusiones inmediatas podemos decir que:

• La probabilidad de que un número N sea primo es aproximadamente: N/ln N.
• El N-ésimo primo está en el entorno del número: N⋅ln N.
• El primer primo es el 2. p(1) = 2.
• El segundo primo es el 3. p(2) = 3.
• El tercer primo es el 5. p(3) = 5.
• El cuarto primo es el 7. p(4) = 7.
• El quinto primo es el 11. p(5) = 11.
• ...
• El N-ésimo primo: p(N) ~ N⋅ln N (está cerca de este número, pero no sabemos cuál es)

El Santo Grial de esta parte de las matemáticas sería el descubrir una fórmula que pudiera generar todos los números primos, y sobre la que gira mi novela "El Enigma Sumergido". Todos los grandes  matemáticos han soñado con encontrarla, si es que existe. Hasta ahora nadie lo ha logrado, puede que el que más cerca estuvo fue Leonhard Euler en el siglo XVIII con su fórmula:

en la que si n = 1, 2, 3, .. vamos obteniendo números primos. ¡Lastima que a partir de n=40 la fórmula empiece a fallar!

Porque cuando n=40 obtenemos 1681, que no es primo ya que es el resultado de la multiplicación de otros números: 41x41=1681.

Existen numerosas expresiones y funciones en relación a los números primos con las que se intenta acotarlos, catalogarlos, como la función de Mertens, o la expresión de Mills, pero todas ellas comienzan: "Si la hipótesis de Riemann es cierta..."

¡Ahí la importancia de demostrar dicha hipótesis para las matemáticas!

Pero, ¿tienen los primos alguna aplicación importante en nuestras vidas?

Me agrada decir que sí, y es en relación con la codificación de mensajes en las redes de computadoras y muy especialmente en internet. Cuando hacemos alguna transacción en la que utilizamos datos confidenciales, nuestro navegador utiliza un algoritmo basado en la propiedad fundamental de los números primos, es decir su imposibilidad de ser factorizados, para codificar los datos. Esto venimos utilizándolo a diario cuando compramos o hacemos alguna transacción bancaria por internet. Una pista para saber si nuestro ordenador está utilizando en ese momento un algoritmo de encriptado es ver si en la barra de direcciones de nuestro navegador aparece https:// o el símbolo de un candado cerrado. En otra entrada del blog explicaré cómo funciona esto.